Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)（1）中的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)到什么位置時(shí)，滿足S△PAB=10，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)（1）中的拋物線交y軸交于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△QAC的周長(zhǎng)最��？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，5）或（4，5）；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-2）．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)得到關(guān)于b和c的二元一次方程組，解方程組求出b和c的值即可；

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2-2m-3），根據(jù)面積公式求出m的值即可；

（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，連接AC′，直線AC′與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為滿足題意的Q點(diǎn)．

（1）∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，

∴，

∴，

∴拋物線解析式為y=x2-2x-3；

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2-2m-3），

若足S△PAB=10，

則AB×|m2-2m-3|=10，

即2|m2-2m-3|=10，

解得m=4或m=-2；

當(dāng)m=4時(shí)，m2-2m-3=5，

當(dāng)m=-2時(shí)，m2-2m-3=5，

綜上P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，5）或（4，5）；

（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，連接AC′，直線AC′與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為滿足題意的Q點(diǎn)；

∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，

∴拋物線對(duì)稱軸為x=1，C′坐標(biāo)為（2，-3），

設(shè)直線AC′的解析式為y=kx+b，

根據(jù)題意可得，

解得，

所以直線AC′的解析式為y=-x-1，

當(dāng)x=1時(shí)，y=-2，

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-2）．