【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形ABCD的邊AB=4,BC=6.若不改變矩形ABCD的形狀和大小,當(dāng)矩形頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上左右移動(dòng)時(shí),矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動(dòng).
(1)當(dāng)∠OAD=30°時(shí),求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)設(shè)AD的中點(diǎn)為M,連接OM、MC,當(dāng)四邊形OMCD的面積為時(shí),求OA的長(zhǎng);
(3)當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到某一位置時(shí),點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離有最大值,請(qǐng)直接寫(xiě)出最大值,并求此時(shí)cos∠OAD的值.
【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,3+2);(2)OA=3;(3)OC的最大值為8,cos∠OAD=.
【解析】
(1)作CE⊥y軸,先證∠CDE=∠OAD=30°得CE=CD=2,DE=,再由∠OAD=30°知OD=AD=3,從而得出點(diǎn)C坐標(biāo);
(2)先求出S△DCM=6,結(jié)合S四邊形OMCD=知S△ODM=,S△OAD=9,設(shè)OA=x、OD=y,據(jù)此知x2+y2=36,xy=9,得出x2+y2=2xy,即x=y,代入x2+y2=36求得x的值,從而得出答案;
(3)由M為AD的中點(diǎn),知OM=3,CM=5,由OC≤OM+CM=8知當(dāng)O、M、C三點(diǎn)在同一直線時(shí),OC有最大值8,連接OC,則此時(shí)OC與AD的交點(diǎn)為M,ON⊥AD,證△CMD∽△OMN得,據(jù)此求得MN=,ON=,AN=AM﹣MN=,再由OA=及cos∠OAD=可得答案.
(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E,
∵矩形ABCD中,CD⊥AD,
∴∠CDE+∠ADO=90°,
又∵∠OAD+∠ADO=90°,
∴∠CDE=∠OAD=30°,
∴在Rt△CED中,CE=CD=2,DE==2,
在Rt△OAD中,∠OAD=30°,
∴OD=AD=3,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,3+2);
(2)∵M為AD的中點(diǎn),
∴DM=3,S△DCM=6,
又S四邊形OMCD=,
∴S△ODM=,
∴S△OAD=9,
設(shè)OA=x、OD=y,則x2+y2=36,xy=9,
∴x2+y2=2xy,即x=y,
將x=y代入x2+y2=36得x2=18,
解得x=3(負(fù)值舍去),
∴OA=3;
(3)OC的最大值為8,
如圖2,M為AD的中點(diǎn),
∴OM=3,CM==5,
∴OC≤OM+CM=8,
當(dāng)O、M、C三點(diǎn)在同一直線時(shí),OC有最大值8,
連接OC,則此時(shí)OC與AD的交點(diǎn)為M,過(guò)點(diǎn)O作ON⊥AD,垂足為N,
∵∠CDM=∠ONM=90°,∠CMD=∠OMN,
∴△CMD∽△OMN,
∴,即,
解得MN=,ON=,
∴AN=AM﹣MN=,
在Rt△OAN中,OA=,
∴cos∠OAD=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,D為AB中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DF//BC交AC于點(diǎn)E,且DE=EF,連接AF,CF,CD.
(1)求證:四邊形ADCF為平行四邊形;
(2)若∠ACD=45°,∠EDC=30°,BC=4,求CE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠為貫徹落實(shí)“綠水青山就是金山銀山“的發(fā)展理念,投資組建了日廢水處理量為m噸的廢水處理車(chē)間,對(duì)該廠工業(yè)廢水進(jìn)行無(wú)害化處理. 但隨著工廠生產(chǎn)規(guī)模的擴(kuò)大,該車(chē)間經(jīng)常無(wú)法完成當(dāng)天工業(yè)廢水的處理任務(wù),需要將超出日廢水處理量的廢水交給第三方企業(yè)處理. 已知該車(chē)間處理廢水,每天需固定成本30元,并且每處理一噸廢水還需其他費(fèi)用8元;將廢水交給第三方企業(yè)處理,每噸需支付12元.根據(jù)記錄,5月21日,該廠產(chǎn)生工業(yè)廢水35噸,共花費(fèi)廢水處理費(fèi)370元.
(1)求該車(chē)間的日廢水處理量m;
(2)為實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展,走綠色發(fā)展之路,工廠合理控制了生產(chǎn)規(guī)模,使得每天廢水處理的平均費(fèi)用不超過(guò)10元/噸,試計(jì)算該廠一天產(chǎn)生的工業(yè)廢水量的范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩校分別有一男一女共4名教師報(bào)名到農(nóng)村中學(xué)支教.
(1)若從甲、乙兩校報(bào)名的教師中分別隨機(jī)選1名,則所選的2名教師性別相同的概率是 .
(2)若從報(bào)名的4名教師中隨機(jī)選2名,用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出這2名教師來(lái)自同一所學(xué)校的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在圓O中,直徑AB平分弦CD于點(diǎn)E,且CD=4,連接AC,OD,若∠A與∠DOB互余,則EB的長(zhǎng)是( )
A.2B.4C.D.2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中⊙O,AB 是直徑,弦 AE 的垂直平分線交⊙O 于點(diǎn) C,CD⊥AB于 D,BD=1,AE=4,則 AD 的長(zhǎng)為___.
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【題目】如圖,若干個(gè)全等的正五邊形排成環(huán)狀,圖中所示的是前3個(gè)正五邊形,要完成這一圓環(huán)還需正五邊形的個(gè)數(shù)為( 。
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,D是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),沿直線CD折疊,點(diǎn)A落在同一平面內(nèi)的處,當(dāng)D垂直于的直角邊時(shí),AD的長(zhǎng)為_____.
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【題目】濟(jì)寧某校為了解九年級(jí)學(xué)生藝術(shù)測(cè)試情況.以九年極(1)班學(xué)生的藝術(shù)測(cè)試成績(jī)?yōu)闃颖,?/span>、、、四個(gè)等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你結(jié)合圖中所給信息解答下列問(wèn)題:
(說(shuō)明:級(jí):90分~100分;級(jí):75分~89分;級(jí)60分~74分;級(jí):60分以下)
(1)此次抽樣共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)請(qǐng)求出樣本中級(jí)的學(xué)生人數(shù),井補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該校九年級(jí)有1000名學(xué)生,請(qǐng)你用此樣本估計(jì)藝術(shù)測(cè)試中分?jǐn)?shù)不低于75分的學(xué)生人數(shù),
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