【題目】如圖1,在矩形ABCD中,E是CB延長線上一個動點,F、G分別為AE、BC的中點,FG與ED相交于點H.
(1)求證:HE=HG;
(2)如圖2,當BE=AB時,過點A作AP⊥DE于點P,連接BP,求PQ與PB的數(shù)量關系,并說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)PQPB,理由見解析.
【解析】
(1)連接AG,并延長AG交DC的延長線于M,連接EM,G為BC的中點,根據(jù)矩形的性質得出∠ABG=∠DCB=90°,根據(jù)全等三角形的判定得出△ABG≌△MCG,根據(jù)全等三角形的性質得出GA=GM,求出FG∥EM,根據(jù)平行線的性質得出∠HGE=∠MEC,求出△DEC≌△MEC,根據(jù)全等三角形的性質得出∠DEC=∠MEC,求出∠HEG=∠HGE即可;
(2)過點B作BQ⊥BP交DE于Q,求出∠APE=∠ABE=90°,∠BEQ=∠BAP,∠EBQ=∠ABP,根據(jù)全等三角形的判定得出△BEQ≌△BAP,根據(jù)全等三角形的性質得出BQ=BP,PA=QE,求出△PBQ是等腰直角三角形,即可得出答案.
(1)證明:連接AG,并延長AG交DC的延長線于M,連接EM,
∵G為BC的中點,
∴BG=CG,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠ABG=∠DCB=90°,
∴∠ABG=∠MCG=90°,
在△ABG和△MCG中,
,
∴△ABG≌△MCG(ASA),
∴GA=GM,
∵F為AE的中點,
∴FA=FE,
∴FG是△AEM的中位線,
∴FG∥EM,
∴∠HGE=∠MEC,
在△DCE和△MCE中,
,
∴△DEC≌△MEC(SAS),
∴∠DEC=∠MEC,
∵∠HGE=∠MEC,
∴∠HEG=∠HGE,
∴HE=HG;
(2)答:PQPB
理由:過點B作BQ⊥BP交DE于Q,則∠QBP=90°,
∵AP⊥DE,四邊形ABCD是矩形,
∴∠APE=∠ABE=90°,
∵∠APO+∠AOP+∠BAP=180°,∠EOB+∠ABE+∠BEP=180°,∠AOP=∠EOB,
∴∠BEQ=∠BAP,
∵∠QBP=∠ABE=90°,
∴∠EBQ=∠ABP=90°﹣∠ABQ,
在△ABP和△EBQ中,
,
∴△BEQ≌△BAP(ASA),
∴BQ=BP,PA=QE,
∴△PBQ是等腰直角三角形,
∴PQPB.
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【題目】泰興市為進一步改善生態(tài)環(huán)境決定對街道進行綠化建設,為此準備購進甲、乙兩種樹木、已知甲種樹木的單價為元,乙種樹木的單價為元.
(1)若街道購買甲、乙兩種樹木共花費元,其中,乙種樹木是甲種樹木的一半多棵,請求出該街道購買的甲、乙兩種樹木各多少棵;
(2)相關資料表明:甲種樹木的成活率為,乙種樹木的成活率為.現(xiàn)街道購買甲、乙兩種樹木共棵,為了使這批樹木的總成活率不低于,則甲種樹木至多購買多少棵?
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【題目】如圖,在ABCD中,F是AD的中點,延長BC到點E,使CE=BC,連接DE,CF.
(1)求證:四邊形CEDF是平行四邊形;
(2)若AB=4,AD=10,∠B=60°,求DE的長.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知直線yx+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點,點C在線段OB上,把△ABC沿直線AC折疊,使點B剛好落在x軸上,則點C的坐標是_____.
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【題目】如圖中的折線ABC表示某汽車的耗油量y(L/km)與速度x(km/h)之間的函數(shù)關系(30≤x≤120).已知線段BC表示的函數(shù)關系中,該汽車的速度每增加1km/h,耗油量增加0.002L/km.
(1)當30≤x≤120時,求y與x之間的函數(shù)表達式;
(2)該汽車的速度是多少時,耗油量最低?最低是多少.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=5,BC=6,P為AD上一動點,把△ABP沿BP翻折,使點A落在點F處,連接CF,若BF=CF,則AP的長為_____.
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【題目】在平面直角坐標系中,圖形的投影矩形定義如下:矩形的兩組對邊分別平行于軸,軸,圖形的頂點在矩形的邊上或內部,且矩形的面積最小.設矩形的較長的邊與較短的邊的比為,我們稱常數(shù)為圖形的投影比,如圖1,矩形為的投影矩形,其投影比.
(1)如圖2,若點,則投影比的值為________________;
(2)已知點,點,且投影比,則點坐標可能是__________(填寫序號);
① ② ③ ④
(3)已知點,在直線上有一點和一動點,且,是否存在這樣的,使得的投影比為定值?若存在,請求出的范圍及定值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分線交BC于點E,DH⊥AE于點H,連接BH并延長交CD于點F,連接DE交BF于點O,下列結論:①△ABE≌△ADH;②HE=CE;③H是BF的中點;④AB=HF;其中正確的有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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