【題目】如圖,在中,AB<AC,點(diǎn)D、F分別為BC、AC的中點(diǎn),E點(diǎn)在邊AC上,連接DE,過點(diǎn)B作DE的垂線交AC于點(diǎn)G,垂足為點(diǎn)H,且與四邊形ABDE的周長相等,設(shè)AC=b,AB=c.
(1)求線段CE的長度;
(2)求證:DF=EF;
(3)若,求的值.
【答案】(1);(2)見詳解;(3)
【解析】
(1)根據(jù)題意得:AE+AB=CE,結(jié)合AB+AC=b+c,進(jìn)而即可求解;
(2)根據(jù)中位線的性質(zhì)和定義得DF =c,CF=b,結(jié)合CE=,可得EF的長,進(jìn)而即可得到結(jié)論;
(3)連接BE、DG,設(shè)BG,DF交于點(diǎn)M,易得BE∥DG,從而得△ABE∽△FDG,進(jìn)而得FG=(bc),再證∠EGH=∠ABG,從而得AB=AG=c,結(jié)合CF=FG+CG,得到關(guān)于b,c的等式,即可得到結(jié)論.
(1)∵與四邊形ABDE的周長相等,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),
∴AE+AB=CE,
∵AE+AB+CE=AB+AC=b+c,
∴CE==;
(2)∵點(diǎn)D、F分別為BC、AC的中點(diǎn),
∵DF是△CAB的中位線,
∴DF=AB=c,AF=CF=AC=b,
∵CE=,
∴EF=CE-CF=b =c,
∴DF=EF;
(3)連接BE、DG,設(shè)BG,DF交于點(diǎn)M,
∵S△BDH=S△EGH,
∴S△BDG=S△DEG,
∴BE∥DG,
∴∠EBC=∠GDC,
∵DF是△CAB的中位線,
∴DF∥AB,
∴∠ABC=∠FDC,∠A=∠DFC,
∴∠ABC-∠EBC=∠FDC-∠GDC,即:∠ABE=∠FDG,
∴△ABE∽△FDG,
∴,
∵AE=AC-CE=b-=(bc)
∴FG=AE=×(bc)=(bc),
∵DF=EF,
∴∠FED=∠FDE,
∵BG⊥DE,
∴∠FED+∠EGH=∠FDE+∠DMH=90°,
∴∠EGH=∠DMH,
又∵∠DMH=∠FMG,
∴∠EGH=∠FMG,
又∵∠FMG=∠ABG,
∴∠EGH=∠ABG,
∴AB=AG=c,
∴CG=bc,
∴CF=b=FG+CG=(bc)+(bc),
∴3b=5c,
∴=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線的對(duì)稱軸為直線,且頂點(diǎn)在軸上,與軸的交點(diǎn)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上,直線與直線相交于點(diǎn).
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
(2)點(diǎn)是(1)中圖象上的點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線與直線交于點(diǎn).試判斷是否為等腰三角形,并說明理由.
(3)作于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)從橫坐標(biāo)2013處運(yùn)動(dòng)到橫坐標(biāo)2019處時(shí),請(qǐng)求出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(14分)如圖1,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,點(diǎn)B在線段AE上,點(diǎn)C在線段AD上.
(1)請(qǐng)直接寫出線段BE與線段CD的關(guān)系: ;
(2)如圖2,將圖1中的△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α(0<α<360°),
①(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)利用圖2證明;若不成立,請(qǐng)說明理由;
②當(dāng)AC=ED時(shí),探究在△ABC旋轉(zhuǎn)的過程中,是否存在這樣的角α,使以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出角α的度數(shù);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A是⊙O上一點(diǎn),OA⊥AB,且OA=1,AB=,OB交⊙O于點(diǎn)D,作AC⊥OB,垂足為M,并交⊙O于點(diǎn)C,連接BC.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)過點(diǎn)B作BP⊥OB,交OA的延長線于點(diǎn)P,連接PD,求sin∠BPD的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD內(nèi)部有若干個(gè)點(diǎn),則用這些點(diǎn)以及正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重疊):
(1)填寫下表:
正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | ... | n |
分割成三角形的個(gè)數(shù) | 4 | 6 | _____ | _____ | ... | _____ |
(2)原正方形能否被分割成2021個(gè)三角形?若能,求此時(shí)正方形ABCD內(nèi)部有多少個(gè)點(diǎn)?若不能,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了豐富學(xué)生課余生活,提高學(xué)生綜合素質(zhì),開展了“綜合實(shí)踐活動(dòng)課”,具體課程如下:A.?dāng)?shù)學(xué)史話;B.詩歌賞析:C.英語口語演講;D.生物與生活,學(xué)校規(guī)定:每個(gè)學(xué)生都必須報(bào)名且只能選擇其中的一個(gè)課程,學(xué)校隨機(jī)抽查了部分學(xué)生,對(duì)他們選擇的課程情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖中的信息,解決下列問題:
(1)這次學(xué)校抽查的學(xué)生人數(shù)是 ;課程B對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角是 度;
(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)如果該校共有1200名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該校報(bào)D的學(xué)生約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=45°,AB=4,點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),過點(diǎn)P作PE⊥AB交射線AD于點(diǎn)E,沿PE將△APE折疊,點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F,連接EF,DF,CF,當(dāng)△CDF為等腰三角形時(shí),AP的長為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(8,0),(0,8),點(diǎn)C、F分別是直線x=﹣5和x軸上的動(dòng)點(diǎn),CF=10,點(diǎn)D是線段CF的中點(diǎn),連接AD交y軸于點(diǎn)E,則△ABE面積的最大值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,一次函數(shù)y=x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B;二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=x+1的圖象交于B、C兩點(diǎn),與x軸交于D、E兩點(diǎn)且D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)求四邊形BDEC的面積S;
(3)在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,從O點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向右運(yùn)動(dòng),是否存在點(diǎn)P使得△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
(4)若動(dòng)點(diǎn)P在x軸上,動(dòng)點(diǎn)Q在射線AC上,同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā),點(diǎn)P沿x軸正方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q以每秒a個(gè)單位的速度沿射線AC運(yùn)動(dòng),是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似,若存在,求a的值,若不存在,說明理由.
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