Question

如圖，拋物線y=ax²-4ax+c（a≠0）經過A（0，-1），B（5，0）兩點，點P是拋物線上的一個動點，且位于直線AB的下方（不與A，B重合），過點P作直線PQ⊥x軸，交AB于點Q，設點P的橫坐標為m．
（1）求a，c的值；
（2）設PQ的長為S，求S與m的函數關系式，寫出m的取值范圍；
（3）以PQ為直徑的圓與拋物線的對稱軸l有哪些位置關系？并寫出對應的m取值范圍．（不必寫過程）

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法把點A、B的坐標代入拋物線表達式解二元一次方程組即可；
（2）先求出直線AB的解析式，然后分別求出點P與點Q的坐標，則PQ的長度S就等于點Q的縱坐標減去點P的縱坐標，然后整理即可；
（3）根據直線與圓的位置關系有相離、相切與相交共三種情況，又點P可以在對稱軸左邊也可以在對稱軸右邊，進行討論列式求解即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²-4ax+c過A（0，-1），B（5，0）
∴

c=-1 25a-20a+c=0

，
解得：

a= 1 5 c=-1

，
故ac的值分別為

1

5

，-1，
拋物線的解析式是y=

1

5

x²-

4

5

x-1；

（2）∵直線AB經過A（0，-1），B（5，0），
∴直線AB的解析式為y=

1

5

x-1，
由（1）知拋物線的解析式為：y=

1

5

x²-

4

5

x-1，
∵點P的橫坐標為m，點P在拋物線上，點Q在直線AB上，PQ⊥x軸，
∴P（m，

1

5

m²-

4

5

m-1），Q（m，

1

5

m-1），
∴S=PQ=（

1

5

m-1）-（

1

5

m ²-

4

5

m-1），
即S=-

1

5

m²+m（0＜m＜5）；

（3）拋物線的對稱軸l為：x=2，
以PQ為直徑的圓與拋物線的對稱軸l的位置關系有：
相離、相切、相交三種關系，
相離時：|m-2|＞

1

2

（-

1

5

m²+m），
解得0＜m＜

15- 145

2

或 

-5+ 105

2

＜m＜5；
相切時：|m-2|=

1

2

（-

1

5

m²+m），
解得m=

15- 145

2

或 m=

-5+ 105

2

；
相交時：|m-2|＜

1

2

（-

1

5

m²+m），
解得

15- 145

2

＜m＜

-5+ 105

2

．

點評：本題考查了待定系數法，直線與二次函數相交的問題，直線與圓的位置關系，綜合性較強，對同學們的能力要求較高，（3）中要注意分點P有在對稱軸左邊與右邊的兩種情況，容易漏解而導致出錯．