Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點P到x軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O、M兩點（其中O 是原點），OM=4，矩形ABCD的邊BC在線段OM上，點A、D在第一象限的拋物線上，
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若CD=3BM，求矩形ABCD的面積；
（3）設(shè)矩形ABCD的周長為l，求l的最大值．

Answer 1

分析：（1）已知OM的長，可知點M的坐標；再由拋物線的對稱性可得到點P的坐標，利用待定系數(shù)法即可確定該拋物線的解析式．
（2）由拋物線的對稱性不難看出：OC=BM，即CD=3OC，首先根據(jù)這個關(guān)系設(shè)出點D的坐標，再由點D在拋物線的函數(shù)圖象上確定點D的坐標；進一步可得到CD、OC、BC的長，則矩形面積可求．
（3）首先設(shè)出點C、D的坐標，進一步能得到CD、BC的長，而l=2（CD+BC），在得到關(guān)于l、C點橫坐標的函數(shù)關(guān)系式后，由函數(shù)的性質(zhì)求出l的最大值．

解答：解：（1）∵OM=4，∴M（4，0）；
∵點P在拋物線的對稱軸上，且P到x軸的距離為4，
∴點P（2，4）．
設(shè)拋物線的解析式：y=ax（x-4），代入P（2，4），得：
2a（2-4）=4，a=-1
∴拋物線的解析式：y=-x（x-4）=-x²+4x．

（2）由拋物線的對稱性知：OC=BM，則 CD=3OC；
設(shè)C（x，0），則D（x，3x），由于點D在拋物線的函數(shù)圖象上，得：
-x²+4x=3x，解得：x₁=0（舍）、x₂=1
∴OC=1，CD=3，BC=OM-2OC=2
∴S_矩形ABCD=BC•CD=2•3=6．

（3）設(shè)點C（x，0），則點D（x，-x²+4x），
∴OC=x，CD=-x²+4x，BC=OM-2OC=4-2x；
∴矩形ABCD的周長：l=2（BC+CD）=2（4-2x-x²+4x）=-2（x-1）²+10，
∴l(xiāng)的最大值為10．

點評：該題的難度不大，主要考查的是利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、拋物線的對稱性以及矩形的面積、周長的解法；熟練應用拋物線的對稱性是解答此題的關(guān)鍵．