Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3 的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C

（1）求A、B、C的坐標；
（2）過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G．若FG= AC，求點F的坐標；
（3）E（0，﹣2），連接BE．將△OBE繞平面內的某點逆時針旋轉90°得到△O′B′E′，O、B、E的對應點分別為O′、B′、E′．若點B′、E′兩點恰好落在拋物線上，求點B′的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：對于拋物線y=﹣x2﹣2x+3，

令x=0得y=3，∴C（0，3），

令y=0，則﹣x2﹣2x+3=0解得x=﹣3或1，

∴A（﹣3，0）；B（1，0）；C（0，3）

（2）

解：如圖1中，

∵A（﹣3，0），C（03），

∴直線AC解析式為y=x+3，OA=OC=3，

∴AC=3 ，F(xiàn)G= AC=2

設F（m，﹣m2﹣2m+3），則G（m，m+3），

則|﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）|=2，

解得m=﹣1或﹣2或 或 ，

則F點的坐標為（﹣1，4）或（﹣2，3）或（ ， ）或（ ， ）

（3）

解：如圖2中，旋轉90°后，對應線段互相垂直且相等，則BE與B’E’互相垂直且相等．

設B’（t，﹣t2﹣2t+3），則E’（t+2，﹣t2﹣2t+3﹣1）

∵E’在拋物線上，則﹣（t+2）2﹣2（t+2）+3=﹣t2﹣2t+3﹣1，

解得，t=﹣ ，則B’的坐標為（﹣ ， ）

【解析】（1）對于拋物線分別令x=0，y=0即可解決問題．（2）先求出AC的解析式，由題意可知FG=2，設F（m，﹣m2﹣2m+3），則G（m，m+3），則有|﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）|=2，解方程即可．（3）如圖2中，旋轉90°后，對應線段互相垂直且相等，則BE與B’E’互相垂直且相等．設B’（t，﹣t2﹣2t+3），則E’（t+2，﹣t2﹣2t+3﹣1）．因為E’在拋物線上，則有﹣（t+2）2﹣2（t+2）+3=﹣t2﹣2t+3﹣1，解方程即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．