【題目】如圖,射線AM平行于射線BN,∠B=90°,AB=4,C是射線BN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AC,作CDAC,且AC=2CD,過CCEBNAD于點(diǎn)E,設(shè)BC長為a

(1)求△ACD的面積(用含a的代數(shù)式表示);

(2)求點(diǎn)D到射線BN的距離(用含有a的代數(shù)式表示);

(3)是否存在點(diǎn)C,使△ACE是以AE為腰的等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)a的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1);(2)a;(3)存在,a的值為2或4+8

【解析】試題分析:(1)先根據(jù)勾股定理得出AC,進(jìn)而得出CD,最后用三角形的面積公式即可;

2)先判斷出∠FDC=ACB,進(jìn)而判斷出DFC∽△CBA,得出,即可求出DF,即可;

3)分兩種情況利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解即可得出結(jié)論.

解:(1)在RtABC中,AB=4BC=a,

AC==,

CD=AC=,

∵∠ACD=90°,

SACD=ACCD=.

2)如圖1,過點(diǎn)DDFBN于點(diǎn)F

∵∠FDC+FCD=90°,FCD+ACB=180°﹣90°=90°

∴∠FDC=ACB,

∵∠B=DFC=90°,

∴∠FDC=ACB,

∵∠B=DFC=90°,

∴△DFC∽△CBA,

,

DF=BC=a,

D到射線BN的距離為a;

3)存在,①當(dāng)EC=EA時(shí),

∵∠ACD=90°,

EC=EA=AD

ABCEDF,

BC=FC=a

由(2)知,DFC∽△CBA,

,

FC=AB=2,

a=2,

②當(dāng)AE=AC時(shí),如圖2,AMCE,

∴∠1=2

AMBN,

∴∠2=4

∴∠1=4,

由(2)知,∠3=4

∴∠1=3,

∵∠AGD=DFC=90°,

∴△ADG∽△DCF

,

AD==,AG=a+2CD=,

a=4+8,

即:滿足條件的a的值為24+8

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