【題目】如圖1,在△ABC中,∠ACB為銳角,點D為射線BC上一點,聯(lián)結(jié)AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①當(dāng)點D在線段BC上時(與點B不重合),如圖2,將△ABD繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,所得到的三角形為 , 線段CF,BD所在直線的位置關(guān)系為 , 線段CF,BD的數(shù)量關(guān)系為;
(2)②當(dāng)點D在線段BC的延長線上時,如圖3,①中的結(jié)論是否仍然成立,并說明理由;
(3)如果AB≠AC,∠BAC是銳角,點D在線段BC上,當(dāng)∠ACB滿足什么條件時,CF⊥BC(點C,F(xiàn)不重合),并說明理由.
【答案】
(1)△ACF;互相垂直;相等
(2)解:如圖3所示,當(dāng)點D在BC的延長線上時,①中的結(jié)論仍成立.
證明:由正方形ADEF得,AD=AF,∠DAF=90°.
∵∠BAC=90°
∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC,
又∵AB=AC,
∴△DAB≌△FAC(SAS),
∴CF=BD,∠ACF=∠ABD.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=45°,
∴∠ACF=45°,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,即 CF⊥BD;
(3)如圖4所示,當(dāng)∠ACB=45°時,CF⊥BD.
理由:過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G,則∠GAC=90°,
∵∠ACB=45°,∠AGC=90°﹣∠ACB=45°,
∴∠ACB=∠AGC,
∴AC=AG,
又∵∠DAG=∠FAC(同角的余角相等),AD=AF,
∴△GAD≌△CAF(SAS),
∴∠ACF=∠AGC=45°,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,即CF⊥BC
【解析】解:(1)①如圖2所示,將△ABD繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,所得到△ACF,則
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:∠ACF=∠B,CF=BD,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°=∠ACF,
∴∠BCF=90°,即BD⊥CF;
所以答案是:△ACF,垂直,相等;
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識,掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°.
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【題目】如圖,在△ABC中,分別以AC、BC為邊作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE,連接AE、BD交于點O,則∠AOB的度數(shù)為 .
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【題目】如圖,AB∥CD,以點A為圓心,小于AC長為半徑作圓弧,分別交AB,AC于E,F(xiàn)兩點,再分別以E,F(xiàn)為圓心,大于EF長為半徑作圓弧,兩條圓弧交于點P,作射線AP,交CD于點M。
(1)若∠ACD=114°,求∠MAB的度數(shù);
(2)若CN⊥AM,垂足為N,求證:△ACN≌△MCN。
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【題目】如圖,在中,,D是AB上的點,過點D作交BC于點F,交AC的延長線于點E,連接CD,,則下列結(jié)論正確的有( )
①∠DCB=∠B;②CD=AB;③△ADC是等邊三角形;④若∠E=30°,則DE=EF+CF.
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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【題目】如圖所示,⊙O的內(nèi)接△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=15°,AD∥OC并交BC的延長線于D點,OC交AB于E點.
(1)求∠D的度數(shù);
(2)求證:AC2=ADCE.
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,該拋物線與x軸的一個交點為(﹣1,0),請回答以下問題.
(1)求拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo);
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解為;
(3)不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是 .
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC= .對角線AC,BD相交于點O,將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn),分別交BC,AD于點E,F(xiàn).
(1)證明:當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時,四邊形ABEF是平行四邊形;
(2)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中,線段AF與EC總保持相等;
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能,請說明理由;如果能,說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù).
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【題目】某文具店購進一批紀(jì)念冊,每本進價為20元,出于營銷考慮,要求每本紀(jì)念冊的售價不低于20元且不高于28元,在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀(jì)念冊每周的銷售量y(本)與每本紀(jì)念冊的售價x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系:當(dāng)銷售單價為22元時,銷售量為36本;當(dāng)銷售單價為24元時,銷售量為32本.
(1)請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)文具店每周銷售這種紀(jì)念冊獲得150元的利潤時,每本紀(jì)念冊的銷售單價是多少元?
(3)設(shè)該文具店每周銷售這種紀(jì)念冊所獲得的利潤為w元,將該紀(jì)念冊銷售單價定為多少元時,才能使文具店銷售該紀(jì)念冊所獲利潤最大?最大利潤是多少?
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,將△ABC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE,點C落在邊AD上,連接BD.若∠DAE=α,則用含α的式子表示∠CBD的大小是( )
A.α
B.90°﹣α
C.
D.
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