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【題目】如圖,在正方形ABCD中,以AB為直徑作半圓,點P是CD中點,BP與半圓交于點Q,連結DQ.給出如下結論:

DQ與半圓O相切;;③∠ADQ=2CBP;cosCDQ=.其中正確的是 (請將正確結論的序號填在橫線上).

【答案】①③

【解析】

試題解析:如圖1

連接DO,OQ,在正方形ABCD中,ABCD,AB═CD,

P是CD中點,O是AB中點,

DPOB,DP═OB,

四邊形OBDP是平行四邊形,

ODBP,

∴∠1=OBQ,2=3,

OQ=OB,

∴∠3=OBQ,

∴∠1=2,

AOD和QOD中,

,

∴△AOD≌△QOD,

∴∠OQD=A=90°,

DQ與半圓O相切,

正確;

如圖2

連接AQ,可得:AQB=90°,

在正方形ABCD中,ABCD,

∴∠ABQ=BPC,

設正方形邊長為x,則CP=x,

由勾股定理可求:BP=,

cosBPC=,cosABQ=,

=,又AB=x,

可求,BQ=x,

PQ=x,

,

不對;

如圖3

連接AQ,OQ,

知,OQD=90°,又OAD=90°,可求ADQ+AOQ=180°,

∵∠3+AOQ=180°,

∴∠3=ADQ,

知,1+4=90°,

4+CBP=90°,

∴∠CBP=1,

OA=OQ,

∴∠1=2,

∵∠3=1+2,

∴∠3=2CBP,

∴∠ADQ=2CBP,

正確;

如圖4,

過點Q作QHCD,

易證QHBC,

設正方形邊長為x,由知:PQ=x,cosBPC=,

可求:PH=x,HQ=x,

DH=DP+PH=x,

由勾股定理可求:DQ=x,

cosCDQ=,

不正確.

綜上所述:正確的有①③

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