Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，直線y=﹣ x+ 與x軸交于C點，與y軸交于點E，點A在x軸的負半軸，以A點為圓心，AO為半徑的圓與直線的CE相切于點F，交x軸負半軸于另一點B．
（1）求⊙A的半徑；
（2）連BF、AE，則BF與AE之間有什么位置關系？寫出結論并證明．
（3）如圖②，以AC為直徑作⊙O1交y軸于M，N兩點，點P是弧MC上任意一點，點Q是弧PM的中點，連CP，NQ，延長CP，NQ交于D點，求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AF，如圖①a．

∵直線y=﹣ x+ 與x軸交于C點，與y軸交于E點，

∴點C的坐標為（2，0），點E的坐標為（0， ），

∴OC=2，OE= ．

∵∠EOC=90°，

∴EC= = ．

∵AO⊥OE，∴直線OE與⊙A相切于點O．

又∵直線CE與⊙A相切于點F，

∴∠AFC=90°，EF=OE= ，

∴FC=FE+EC= + =2 ．

在Rt△AFC中，

設AF=x，則AO=x，AC=x+2．

根據勾股定理可得：x2+（2 ）2=（x+2）2，

解得：x=1．

∴⊙A的半徑為1

（2）解：BF∥AE．

證明：連接OF，交AE于點H，如圖①b．

∵EF、EO分別與⊙A相切于點F、O，

∴EF=EO，EA平分∠FEO，

∴EA⊥OF，即∠AHO=90°．

∵BO是⊙A的直徑，

∴∠BFO=90°，

∴∠BFO=∠AHO，

∴BF∥AE

（3）解：連接QC、QM、MC、NC、MO1，如圖②．

∵AC是⊙O1的直徑，AC⊥MN，

∴ ，

∴∠NQC=∠MNC．

∵∠MQC+∠MNC=180°，∠DQC+∠NQC=180°，

∴∠MQC=∠DQC．

∵點Q是 的中點，

∴∠MCQ=∠PCQ．

在△MCQ和△DCQ中，

，

∴△MCQ≌△DCQ（ASA），

∴MC=DC．

∵OA=1，OC=2，

∴AC=3，AO1= ，OO1= ，

在Rt△MOO1中，

MO1=AO1= ，OO1= ，

∴MO= = ．

在Rt△MOC中，

MC= = ，

∴DC= ．

∴CD的長為

【解析】（1）連接AF，如圖①a，由直線EC的解析式可求出OE、OC的長，根據勾股定理可求出EC的長，然后根據切線長定理可求出EF的長，然后在Rt△AFC中運用勾股定理就可求出圓的半徑．（2）連接OF，交AE于點H，如圖①b，根據切線長定理可得EF=EO，EA平分∠FEO，根據等腰三角形的性質可得∠AHO=90°，由BO是⊙A的直徑可得∠BFO=90°，從而得到∠BFO=∠AHO，即可得到BF∥AE．（3）連接QC、QM、MC、NC、MO1 ， 如圖②，易證△MCQ≌△DCQ，則有MC=DC．在Rt△MOO1中，運用勾股定理可求出MO的長，然后在Rt△MOC中，運用勾股定理就可求出MC，即可得到CD的長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行線的判定的相關知識，掌握同位角相等，兩直線平行;內錯角相等，兩直線平行;同旁內角互補，兩直線平行，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．