【題目】如圖,已知直線(xiàn)l與⊙O相離,OA⊥l于點(diǎn)A,OA=5.OA與⊙O相交于點(diǎn)P,AB與⊙O相切于點(diǎn)B,BP的延長(zhǎng)線(xiàn)交直線(xiàn)l于點(diǎn)C.
(1)試判斷線(xiàn)段AB與AC的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若PC=2 ,求⊙O的半徑和線(xiàn)段PB的長(zhǎng);
(3)若在⊙O上存在點(diǎn)Q,使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形,求⊙O的半徑r的取值范圍.

【答案】
(1)解:AB=AC,理由如下:

連接OB.

∵AB切⊙O于B,OA⊥AC,

∴∠OBA=∠OAC=90°,

∴∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠APC=90°,

∵OP=OB,

∴∠OBP=∠OPB,

∵∠OPB=∠APC,

∴∠ACP=∠ABC,

∴AB=AC;


(2)解:延長(zhǎng)AP交⊙O于D,連接BD,

設(shè)圓半徑為r,則OP=OB=r,PA=5﹣r,

則AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2

AC2=PC2﹣PA2= ﹣(5﹣r)2,

∴52﹣r2= ﹣(5﹣r)2

解得:r=3,

∴AB=AC=4,

∵PD是直徑,

∴∠PBD=90°=∠PAC,

又∵∠DPB=∠CPA,

∴△DPB∽△CPA,

= ,

=

解得:PB=

∴⊙O的半徑為3,線(xiàn)段PB的長(zhǎng)為 ;


(3)解:作出線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)MN,作OE⊥MN,則可以推出OE= AC= AB=

又∵圓O與直線(xiàn)MN有交點(diǎn),

∴OE= ≤r,

≤2r,

25﹣r2≤4r2

r2≥5,

∴r≥

又∵圓O與直線(xiàn)相離,

∴r<5,

≤r<5.


【解析】(1)連接OB,根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°,推出∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠CPA=90°,求出∠ACP=∠ABC,根據(jù)等腰三角形的判定推出即可;(2)延長(zhǎng)AP交⊙O于D,連接BD,設(shè)圓半徑為r,則OP=OB=r,PA=5﹣r,根據(jù)AB=AC推出52﹣r2= ﹣(5﹣r)2,求出r,證△DPB∽△CPA,得出 = ,代入求出即可;(3)根據(jù)已知得出Q在AC的垂直平分線(xiàn)上,作出線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)MN,作OE⊥MN,求出OE<r,求出r范圍,再根據(jù)相離得出r<5,即可得出答案.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱(chēng):等邊對(duì)等角);直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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組別

分?jǐn)?shù)段

頻數(shù)

頻率

50.5~60.5

16

0.08

60.5~70.5

30

0.15

70.5~80.5

m

0.25

80.5~90.5

80

n

90.5~100.5

24

0.12

(1)寫(xiě)出表中:m,n,此樣本中成績(jī)的中位數(shù)落在第幾組內(nèi);

(2)補(bǔ)全頻數(shù)直方圖;

(3)若成績(jī)超過(guò)80分為優(yōu)秀,該校八年級(jí)學(xué)生中漢字聽(tīng)寫(xiě)能力優(yōu)秀的約有多少人?

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A.600﹣250
B.600 ﹣250米
C.350+350
D.500

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A.4 B.3 C2 D.1

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求這四個(gè)班共植樹(shù)多少棵用含x的代數(shù)式表示;

當(dāng)時(shí),四個(gè)班哪個(gè)班植樹(shù)最多?

若四個(gè)班共植樹(shù)266棵,一班植樹(shù)多少棵.

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小明是這樣解決問(wèn)題的:如圖①所示,先畫(huà)一個(gè)正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為),再在網(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)(即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處),從而借助網(wǎng)格就能計(jì)算出的面積.他把這種解決問(wèn)題的方法稱(chēng)為構(gòu)圖法.

參考小明解決問(wèn)題的方法,完成下列問(wèn)題:

)圖是一個(gè)的正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為) .

①利用構(gòu)圖法在答卷的圖中畫(huà)出三邊長(zhǎng)分別為、、的格點(diǎn)

②計(jì)算①中的面積為__________.(直接寫(xiě)出答案)

)如圖,已知,以,為邊向外作正方形,,連接

①判斷面積之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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②由方程x=兩邊同除以,得x=1;

③由方程6x﹣4=x+4移項(xiàng),得7x=0;

④由方程2﹣兩邊同乘以6,得12﹣x﹣5=3(x+3).

錯(cuò)誤變形的個(gè)數(shù)是( 。﹤(gè)

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

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