Question

【題目】如圖，在四邊形中，，以為直徑的經過點，連接，交于點.

（1）證明：；

（2）若，證明：是的切線；

（3）在（2）條件下，連接交于點，連接，若的直徑為，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．

【解析】

（1）連接OC，證△OAD≌△OCD得∠ADO=∠CDO，又AD=CD知AE=CE；
（2）設BC=a、則AC=2a、AD=AB==a，證OE為中位線知OE=a、AE=CE=AC=a，進一步求得DE==2a，再在△AOD中利用勾股定理逆定理證∠OAD=90°即可得；
（3）先證△AFD∽△BAD得DFBD=AD2①，再證△AED∽△OAD得ODDE=AD2②，由①②得DFBD=ODDE，即，結合∠EDF=∠BDO知△EDF∽△BDO，據此可得，結合（2）可得相關線段的長，代入計算可得．

（1）連接，

在和中，

，

∴，

∴

∴

（2）由（1）得，

∵，

∴，

∵為的直徑，

∴，

∴，即，

∴，

∵，

∴設、則，

∴，

∵，且，

∴，，

在中，，

在中，，

，

∴，

∴，

則與相切；

（3）連接，

∵是的直徑，

∴，

∵，

∴，

∴，即①，

又∵，，

∴，

∴，即②，

由①②可得，即，

又∵，

∴，

∵，

∴，，，，，

∴，即，

解得：.