Question

如圖，要在河邊修建一個(gè)水泵站，分別向張村A和李莊B送水，已知張村A、李莊B到河邊的距離分別為2km和7km，且張、李二村莊相距13km．
（1）水泵應(yīng)建在什么地方，可使所用的水管最短？請(qǐng)?jiān)趫D中設(shè)計(jì)出水泵站的位置．
（2）如果鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米1000元，為使鋪設(shè)水管費(fèi)用最節(jié)省，請(qǐng)求出最節(jié)省的鋪設(shè)水管的費(fèi)用為多少元？

Answer 1

分析：（1）作點(diǎn)A關(guān)于河邊所在直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B交l于P，則點(diǎn)P為水泵站的位置；
（2）利用了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得AP=A′P，在△AEB中利用勾股定理可以算出AE的長(zhǎng)，再在△ACB中利用勾股定理算出A′B的長(zhǎng)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）作A關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，再連接A′B，A′B與l交于點(diǎn)P，P點(diǎn)就是水泵站的位置；

（2）過(guò)B點(diǎn)作l的垂線(xiàn)，過(guò)A′作l的平行線(xiàn)，
設(shè)這兩線(xiàn)交于點(diǎn)C，則∠C=90°．
又過(guò)A作AE⊥BC于E，
依題意BE=5，AB=13，
∴AE²=AB²-BE²=13²-5²=144．
∴AE=12．
由平移關(guān)系，A′C=AE=12，
△BA′C中，
∵BC=7+2=9，A′C=12，
∴A′B²=A′C²+BC²=9²+12²=225，
∴A′B=15．
∵PA=PA′，
∴PA+PB=A′B=15．
∴1000×15=15000（元）．
答：最節(jié)省的鋪設(shè)水管的費(fèi)用為15000元．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了最短路線(xiàn)問(wèn)題，正確作出圖形，確定線(xiàn)路是解決此題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．在直線(xiàn)L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線(xiàn)L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)來(lái)確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線(xiàn)與直線(xiàn)L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)