Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx﹣c與x軸交A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．

（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)M是線段AC上的點(diǎn)（不與A，C重合），過(guò)M作MF∥y軸交拋物線于F，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用m的代數(shù)式表示MF的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，連接FA、FC，是否存在m，使△AFC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3；直線AC的解析式為y=﹣x﹣1；

（2）MF=（﹣m﹣1）﹣（ m2﹣2m﹣3）=﹣m2+m+2；

（3）當(dāng)m=時(shí)，△AFC的面積最大為．

【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出b和c的值即可求出拋物線解析式；再把點(diǎn)C的橫坐標(biāo)代入已求出的拋物線解析式可求出其縱坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線AC的表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)M又在直線AB上，所以可求出其縱坐標(biāo)，而點(diǎn)F在拋物線上，所以可求出其縱坐標(biāo)，進(jìn)而可用m的代數(shù)式表示MF的長(zhǎng)；

（3）存在m，使△AFC的面積最大，設(shè)直線MF與x軸交于點(diǎn)H，作CE⊥MF于E，由S△AFC=MF（AH+CE），可得關(guān)于m的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出△AFC的最大值．

試題解析：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）帶入y=x2+bx﹣c，

得，解得： ，

∴解析式為：y=x2﹣2x﹣3，

把x=2帶入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3，

∴C（2，﹣3），

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m，把A（﹣1，0）、C（2，﹣3）帶入，

得，解得： ，

∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣1；

（2）∵點(diǎn)M在直線AC上，

∴M的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣1）；

∵點(diǎn)F在拋物線y=x2﹣2x﹣3上，

∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），

∴MF=（﹣m﹣1）﹣（ m2﹣2m﹣3）=﹣m2+m+2；

（3）存在m，使△AFC的面積最大，理由如下：

設(shè)直線MF與x軸交于點(diǎn)H，作CE⊥MF于E，

S△AFC=MF（AH+CE）=MF（2+1）=MF，

=（﹣m2+m+2），

=﹣（m﹣）2+≤

∴當(dāng)m=時(shí)，△AFC的面積最大為．