【題目】如圖1,在平面直角坐標系xOy中,半徑為1的⊙Ox軸正半軸和y軸正半軸分別交于A,B兩點,直線lykx+2k0)與x軸和y軸分別交于P,M兩點.

1)當直線與⊙O相切時,求出點M的坐標和點P的坐標;

2)如圖2,當點P在線段OA上時,直線1與⊙O交于EF兩點(點E在點F的上方)過點FFCx軸,與⊙O交于另一點C,連結ECy軸于點D

①如圖3,若點P與點A重合時,求OD的長并寫出解答過程;

②如圖2,若點P與點A不重合時,OD的長是否發(fā)生變化,若不發(fā)生變化,請求出OD的長并寫出解答過程;若發(fā)生變化,請說明理由.

3)如圖4,在(2)的基礎上,連結BF,將線段BF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°BQ,若點QCE的延長線時,請用等式直接表示線段FC,FQ之間的數(shù)量關系.

【答案】(1);(2)OD的長度不變;(3)3FQ24FC2+2FC

【解析】

1)先根據(jù)題意求出A、BM、P坐標(P坐標用k表示),由直線與⊙O相切,先設切點為N,則有ONMPON1,因此∠MON可求,故利用三角函數(shù)可求OP的長,即求出P的坐標.

2)①當PA重合時,k值可求即直線l解析式確定,點F也與PA重合,Cx軸上為(﹣1,0).因為點E在直線l上且在⊙O上,可求出E坐標,故直線CE解析式可求,即求出CEy軸交點D

②要求OD的長即求D的坐標,解題思路與①相同,但由于PA不重合,直線l和點E、F坐標不確定,可先設E、F坐標,利用直線l與點在⊙O的關系列得方程,得到點E、F橫坐標之間的關系.用EF橫坐標表示的點C、E坐標代入求CE解析式,化簡后即求出其與y軸交點縱坐標的值.

3)在(2)的基礎上有可直接使用.由旋轉(zhuǎn)90°聯(lián)想到構造三垂直全等模型,作QR垂直y軸,即能用F的坐標表示QRBR等線段長度.又由FCQR得相似,對應邊的比相等得到用F坐標表示的等式.利用F在⊙O上化簡式子,并代入求FQ2,即能得到FQ2FC的長度關系.

解:(1)∵半徑為1的⊙Ox軸正半軸和y軸正半軸分別交于AB兩點

A1,0),B0,1),OAOB1

直線lykx+2k0)中,當x0時,y2

∴點M坐標為(0,2),OM2

kx+20時,解得:

∴點P坐標為

設直線l與與⊙O相切于點N,

ONMPON1

∴∠ONM=∠ONP90°

RtOMN中,sinOMN

∴∠OMN30°

RtMOP中,tanOMP

解得:,

∴點P坐標為

2)①∵PA重合,FCx

P1,0),=1,點FP、A重合

k=﹣2,C(﹣1,0

∴直線ly=﹣2x+2

∵點E在直線l上,且在⊙O

∴設Ee,﹣2e+2),則有e2+(﹣2e+221

解得:e11(即為點A,舍去),,

∴點E坐標為

設直線CE解析式為:yax+b

解得:

∴直線CEy軸交點

OD的長度不變.

設點(x,y)在⊙O上,則有x2+y21

∴求直線lykx+2與⊙O的交點EF,即求兩方程的公共解

整理得:(1+k2x2+4kx+30

Eeke+2),Ft,kt+2

①,et

FCx軸且C在⊙O

C、F關于y軸對稱,即C(﹣t,kt+2

設直線CE解析式為:yax+b

×e得:﹣aet+beket+2e

×t得:aet+btket+2t

+⑥得:(e+tb2ket+2e+t

把①②式代入得:

長度不變.

3)過點QQRy軸于R,設CFy軸交點為S

∴∠BRQ=∠FSB90°

∵線段BF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°BQ

∴∠FBQ90°,BQBF,即BFQ是等腰直角三角形

∴∠RBQ+SBF=∠RBQ+RQB90°

∴∠RQB=∠SBF

RQBSBF

∴△RQB≌△SBFAAS

RQSB,BRSF

Fts),C(﹣ts

FC2t,RQSB1sBRSFt

∵在(2)的基礎上有

CSRQ,CD、Q在同一直線上

∴△CDS∽△QDR

整理得:2s22t23st+10

∵點Fts)在⊙O上,滿足s2+t21,

代入整理得:

FQ2BF2+BQ22BQ22BR2+RQ2)=2[t2+1s2]44s

FC2t,FC24t2

3FQ24FC2+2FC

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