Question

【題目】用一定數(shù)目的點或大小相同的圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形數(shù)陣.古希臘著名數(shù)學家畢達哥拉斯用數(shù)，，，，，……這些數(shù)量的（石子），都成功的排成了等邊三角形數(shù)陣..

（問題提出）結(jié)果等于多少？

在圖1所示的等邊三角形數(shù)陣中，前行有個圓圈，前行有個圓圈，即，前行有個圓圈，即，…，則前行所有圓圈個數(shù)總和為

將圖1旋轉(zhuǎn)至圖2，觀察這兩個三角形數(shù)陣中同一行圓圈個數(shù)（如第行的圓圈個數(shù)分別為個，個），發(fā)現(xiàn)同一行圓圈個數(shù)之和均為___________個，由此可得兩個圖前行圓圈個數(shù)總和為：___________，因此，___________.

（問題延伸）結(jié)果等于多少？

圖3

圖4

在圖3所示的等邊三角形數(shù)陣中，第行圓圈中的數(shù)為，即，第行兩個圓圈中數(shù)字的和為.即…，第行個圓圈中數(shù)字的和為（共個）.即.這樣，該三角形數(shù)陣中所有圓圈中數(shù)字的和為.

將該三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖4所示的三個三角形數(shù)陣，觀察這三個三角形數(shù)陣中各行同一位置上圓圈中的數(shù)字（如第行的第一個圓圈中的數(shù)字分別為，，），發(fā)現(xiàn)相同位置上三個圓圈中數(shù)字之和均為___________，由此可得，這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)字的總和為：___________，因此，___________.

（規(guī)律應用）

根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計算：的結(jié)果為___________.

Answer 1

【答案】（問題提出）n+1；n（n+1）；；（問題延伸）2n+1； ×（2n+1）；（規(guī)律應用）1345.

【解析】

（問題提出）根據(jù)圖形可發(fā)現(xiàn)同一行圓圈個數(shù)之和均為（n+1）個，由此可得兩個圖前行圓圈個數(shù)總和為：n（n+1），因此可求出；

（問題延伸）根據(jù)材料可得相同位置上三個圓圈中數(shù)字之和為++=2n+1，由此可得，這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)字的總和為：×（2n+1），因此變形即可求出；

（規(guī)律應用）根據(jù)規(guī)律即可化簡求解.

（問題提出）觀察這兩個三角形數(shù)陣中同一行圓圈個數(shù)（如第行的圓圈個數(shù)分別為個，個），發(fā)現(xiàn)同一行圓圈個數(shù)之和均為（n+1）個，由此可得兩個圖前行圓圈個數(shù)總和為： n（n+1），因此，，

故答案為：n+1；n（n+1）；；

（問題延伸）

∵++=2n+1，

∴相同位置上三個圓圈中數(shù)字之和為++=2n+1，

∴這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)字的總和為：×（2n+1），

∴=

故答案為：2n+1； ×（2n+1）；

（規(guī)律應用）

=

=

=1345

故答案為：1345.