矩形ABCD的邊長AB=3，AD=2，將此矩形放在平面直角坐標系中，使AB在x軸的正半軸上，點A在點B的左側(cè)，另兩個頂點都在第一象限，且直線y=
3
2
x-1經(jīng)過這兩個頂點中的一個．
（1）求A、B、C、D四點坐標；
（2）以AB為直徑作⊙M，記過A、B兩點的拋物線y=ax2+bx+c的頂點為P．
①若P點在⊙M和矩形內(nèi)，求a的取值范圍；
②過點C作CF切⊙M于E，交AD于F，當PF∥AB時，求拋物線的函數(shù)解析式．
（1）首先畫圖．設(shè)點A坐標為（x，0）

又∵AB=3，AD=2且點A在點B的左側(cè)．AB在x軸的正半軸上．
又∵ABCD為矩形，則點B、C、D的坐標分別為（x+3，0），（x+3，2），（x，2）
∴直線y=
3
2
x-1，經(jīng)過這兩個頂點中的一個．
當其經(jīng)過點C時，
3
2
(x+3)=3
∴x=-1
又∵點A在x軸正半軸上
∴x＞0
∴x=-1舍去
當其經(jīng)過點D時，
3
2
x-1=2
∴x=2，符合題意．
∴A、B、C、D四點坐標分別為（2，0）、（5，0）、（5，2）、（2，2）

（2）①∵此拋物線過點A．B
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-5）=ax2-7ax+10a（a≠0）
∴其頂點P的坐標為(
7
2
，-
9
4
a)
而⊙M的圓心M的坐標為(
7
2
，0)，半徑為
3
2

∴若P點在⊙M和矩形內(nèi)，則0＜-
9
4
a＜
3
2
，
∴-
2
3
＜a＜0．
②設(shè)點F坐標為（2，y），則FA=y
∵CF切⊙M于E，CB、FA均為⊙M的切線，
根據(jù)切線長定理有CE=BC=2，EF=AF=-
9
4
a，
設(shè)直線PF與BC相交于G，在直角三角形CFG中，
CF2=FG2+CG2，CG=BC-AF=2+
9
4
a，CF=BC+EF=2-
9
4
a；
∴（2-
9
4
a）2=（2+
9
4
a）2+9
解得a=-
1
2

∴拋物線的解析式為y=-
1
2
（x-2）（x-5）=-
1
2
x2+
7
2
x-5．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，矩形ABCD的頂點B、C在x軸上，A、D在拋物線y=ax2+bx上，且y=ax2+bx的最大值是2，y=ax2+bx與x軸的正半軸的交點E的坐標是（2，0）．
（1）求a，b的值；
（2）若矩形的頂點均為動點，且矩形在拋物線與x軸圍成的封閉區(qū)域內(nèi)，試探索：是否存在周長為3的矩形？若存在，求出此時B點的坐標；若不存在說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線經(jīng)過A，C，D三點，且三點坐標為A（-1，0），C（0，5），D（2，5），拋物線與x軸的另一個交點為B點，點F為y軸上一動點，作平行四邊形DFBG，
（1）B點的坐標為______；
（2）是否存在F點，使四邊形DFBG為矩形？如存在，求出F點坐標；如不存在，說明理由；
（3）連結(jié)FG，F(xiàn)G的長度是否存在最小值？如存在求出最小值；若不存在說明理由；
（4）若E為AB中點，找出拋物線上滿足到E點的距離小于2的所有點的橫坐標x的范圍：______．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知平面直角坐標系xOy中，點A在拋物線y=
2
3
3
x2+
3
3
上，過A作AB⊥x軸于點B，AD⊥y軸于點D，將矩形ABOD沿對角線BD折疊后得A的對應(yīng)點為A′，重疊部分（陰影）為△BDC．
（1）求證：△BDC是等腰三角形；
（2）如果A點的坐標是（1，m），求△BDC的面積；
（3）在（2）的條件下，求直線BC的解析式，并判斷點A′是否落在已知的拋物線上？請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于兩個不同的點A（-2，0）、B（4，0），與y軸交于點C（0，3），連接BC、AC，該二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸相交于點D．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式、點D的坐標及直線BC的函數(shù)解析式；
（2）點Q在線段BC上，使得以點Q、D、B為頂點的三角形與△ABC相似，求出點Q的坐標；
（3）在（2）的條件下，若存在點Q，請任選一個Q點求出△BDQ外接圓圓心的坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

二次函數(shù)y=-x2+kx+3的圖象與x軸交于點（3，0）
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）畫出這個函數(shù)的圖象．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，P為拋物線y=
3
4
x2-
3
2
x+
1
4
上對稱軸右側(cè)的一點，且點P在x軸上方，過點P作PA垂直x軸于點A，PB垂直y軸于點B，得到矩形PAOB．若AP=1，求矩形PAOB的面積．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知直線y=-
1
2
x+1交坐標軸于A，B兩點，以線段AB為邊向上作正方形ABCD，過點A，D，C的拋物線與直線另一個交點為E．

（1）請直接寫出點C，D的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若正方形以每秒
5
個單位長度的速度沿射線AB下滑，直至頂點D落在x軸上時停止．設(shè)正方形落在x軸下方部分的面積為S，求S關(guān)于滑行時間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍；
（4）在（3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時停止，求拋物線上C，E兩點間的拋物線弧所掃過的面積．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點c（0，3）．
（1）求此拋物線所對應(yīng)函數(shù)的表達式；
（2）若拋物線的頂點為D，在其對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使得△PCD為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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