Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直角梯形OABC，BC∥OA，A（20，0），C（0，4

3

），∠BOC=30°，點(diǎn)P在線(xiàn)段AO上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心作⊙P，使⊙P始終與AB邊相切，切點(diǎn)為Q，設(shè)⊙P的半徑為x，五邊形OPQBC的面積為S．
（1）求點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求出（2）中x的取值范圍；
（4）當(dāng)x為何值時(shí)，⊙P與AB、OB都相切．（要求直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

分析：（1）在Rt△BCO中，利用含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得BC=

3

3

×4

3

=4，即可得到B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)B作BE⊥OA于E，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到PQ⊥AB，易證Rt△APQ∽R(shí)t△ABE，利用相似比可表示出AQ=

4 3

3

x，再根據(jù)S=梯形ABCO的面積-三角形APQ的面積即可得到
S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）過(guò)B作BF⊥AB交OA于F，求出x的最大值即BF的長(zhǎng)，易得∴Rt△ABE∽R(shí)t△AFB，利用相似比可求出BF，即可得到x的取值范圍；
（4）根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到點(diǎn)P到BO和BA的距離都等于x，再利用S_△PBO+S_△PBA=S_△ABO可關(guān)于x的方程，解方程即可．

解答：解：（1）∵BC∥OA，C（0，4

3

），∠BOC=30°，
∴OC=

3

BC，
∴BC=

3

3

×4

3

=4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4

3

）；

（2）過(guò)B作BE⊥OA于E，如圖，
∵⊙P與AB邊相切，
∴PQ⊥AB，
∴Rt△APQ∽R(shí)t△ABE，
∴AQ：AE=PQ：BE，即AQ：16=x：4

3

，
∴AQ=

4 3

3

x，
∴S=

1

2

（4+20）•4

3

-

1

2

•x•

4 3

3

x
=-

2 3

3

x²+48

3

；

（3）AB=

BE2+AE2

=

(4 3 )2+162

=4

19

，
過(guò)B作BF⊥AB交OA于F，如圖，
∴Rt△ABE∽R(shí)t△AFB，
∴BF：BE=AB：AE，即BF：4

3

=4

19

：16，
∴BF=

57

．
∴x的取值范圍為0＜x≤

57

；

（4）OB=2BC=8，
∵⊙P與AB、OB都相切，
∴點(diǎn)P到BO和BA的距離都等于x，
而S_△PBO+S_△PBA=S_△ABO，
∴

1

2

•x•8+

1

2

•x•4

19

=

1

2

•4

3

•20，
∴x=

4 57 -8 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了直角梯形的性質(zhì)、含30°的直角三角形三邊的關(guān)系、三角形的面積公式以及三角形相似的判定與性質(zhì)．