Question

【題目】下表中給出了變量x，與y=ax2，y=ax2+bx+c之間的部分對(duì)應(yīng)值，（表格中的符號(hào)“…”表示該項(xiàng)數(shù)據(jù)已丟失）

x	﹣1	0	1
ax2	…	…	1
ax2+bx+c	7	2	…

（1）求拋物線y=ax2+bx+c的表達(dá)式

（2）拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，直線AM交對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線于點(diǎn)B，當(dāng)△ADM與△BDM的面積比為2：3時(shí)，求B點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，設(shè)線段BD與x軸交于點(diǎn)C，試寫(xiě)出∠BAD和∠DCO的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣4x+2；(2) 點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，7）；（3）∠BAD和∠DCO互補(bǔ)，理由詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由（1，1）在拋物線y=ax2上可求出a值，再由（﹣1，7）、（0，2）在拋物線y=x2+bx+c上可求出b、c的值，此題得解；

（2）由△ADM和△BDM同底可得出兩三角形的面積比等于高的比，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出A、D的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)A作AN∥x軸，交BD于點(diǎn)N，則∠AND=∠DCO，根據(jù)點(diǎn)B、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BD的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出BA、BD、BN的長(zhǎng)度，由三者間的關(guān)系結(jié)合∠ABD=∠NBA，可證出△ABD∽△NBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出∠ANB=∠DAB，再由∠ANB+∠AND=180°可得出∠DAB+∠DCO=180°，即∠BAD和∠DCO互補(bǔ)．

（1）當(dāng)x=1時(shí)，y=ax2=1，

解得：a=1；

將（﹣1，7）、（0，2）代入y=x2+bx+c，得：

，解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為y=x2﹣4x+2；

（2）∵△ADM和△BDM同底，且△ADM與△BDM的面積比為2：3，

∴點(diǎn)A到拋物線的距離與點(diǎn)B到拋物線的距離比為2：3．

∵拋物線y=x2﹣4x+2的對(duì)稱軸為直線x=﹣=2，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為0，

∴點(diǎn)B到拋物線的距離為3，

∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3+2=5，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，7）．

（3）∠BAD和∠DCO互補(bǔ)，理由如下：

當(dāng)x=0時(shí)，y=x2﹣4x+2=2，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），

∵y=x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣2）．

過(guò)點(diǎn)A作AN∥x軸，交BD于點(diǎn)N，則∠AND=∠DCO，如圖所示．

設(shè)直線BD的表達(dá)式為y=mx+n（m≠0），

將B（5，7）、D（2，﹣2）代入y=mx+n，

，解得：，

∴直線BD的表達(dá)式為y=3x﹣8．

當(dāng)y=2時(shí)，有3x﹣8=2，

解得：x=，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，2）．

∵A（0，2），B（5，7），D（2，﹣2），

∴AB=5，BD=3，BN=，

∴==．

又∵∠ABD=∠NBA，

∴△ABD∽△NBA，

∴∠ANB=∠DAB．

∵∠ANB+∠AND=180°，

∴∠DAB+∠DCO=180°，

∴∠BAD和∠DCO互補(bǔ)．