Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，B(5，0)，C(0，)三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)E(x，y)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸下方．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)E(x，y)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求三角形OEB的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值？

（3）在y軸上確定一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到D、B兩點(diǎn)距離之和d＝MD+MB最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+；（2）S＝﹣（x﹣3）2+（1＜x＜5），當(dāng)x＝3時(shí)，S有最大值；（3）(0，﹣)

【解析】

（1）設(shè)出解析式，由待定系數(shù)法可得出結(jié)論；

（2）點(diǎn)E在拋物線上，用x去表示y，結(jié)合三角形面積公式即可得出三角形OEB的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再由E點(diǎn)在x軸下方，得出1＜x＜5，將三角形OEB的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式配方，即可得出最值；

（3）找出D點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)D′，結(jié)合三角形內(nèi)兩邊之和大于第三邊，即可確定當(dāng)MD+MB最小時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，則

，解得：．

故拋物線解析式為y＝x2﹣4x+．

（2）過點(diǎn)E作EF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，如圖1所示．

E點(diǎn)坐標(biāo)為(x，x2﹣4x+)，F點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，0)，

∴EF＝0﹣(x2﹣4x+)＝﹣x2+4x﹣．

∵點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸下方，

∴1＜x＜5．

三角形OEB的面積S＝OBEF＝×5×(﹣x2+4x﹣)＝﹣(x﹣3)2+(1＜x＜5＝．

當(dāng)x＝3時(shí)，S有最大值．

（3）作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接BD′，如圖2所示．

∵拋物線解析式為y＝x2﹣4x+＝(x﹣3)2﹣，

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，﹣)，

∴D′點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣3，﹣)．

由對(duì)稱的特性可知，MD＝MD′，

∴MB+MD＝MB+MD′，

當(dāng)B、M、D′三點(diǎn)共線時(shí)，MB+MD′最小．

設(shè)直線BD′的解析式為y＝kx+b，則

，解得：，

∴直線BD′的解析式為y＝x﹣．

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，﹣)．