Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)C（0，3），拋物線的頂點(diǎn)為A（2，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，1），F在拋物線的對(duì)稱軸上，且縱坐標(biāo)為1．點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，交直線CF于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P在直線CF下方的拋物線上，用含m的代數(shù)式表示線段PH的長(zhǎng)，并求出線段PH的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)PF﹣PM＝1時(shí)，若將“使△PCF面積為2”的點(diǎn)P記作“巧點(diǎn)”，則存在多個(gè)“巧點(diǎn)”，且使△PCF的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P也是一個(gè)“巧點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有“巧點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，并求出△PCF的周長(zhǎng)最小時(shí)“巧點(diǎn)”的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣x+1；（2）m＝0時(shí)，PH的值最大最大值為2，P（0，2）；（3）△PCF的巧點(diǎn)有3個(gè)，△PCF的周長(zhǎng)最小時(shí)，“巧點(diǎn)”的坐標(biāo)為（0，1）．

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入求得a的值即可；

（2）求出直線CF的解析式，求出點(diǎn)P、H的坐標(biāo)，構(gòu)建二次函數(shù)即可解決問(wèn)題；

（3）據(jù)三角形的面積公式求得點(diǎn)P到CF的距離，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥CF，取CG＝．則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣1，2）或（1，4），過(guò)點(diǎn)G作GH∥FC，設(shè)GH的解析式為y＝﹣x+b，將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入求得直線GH的解析式，將直線GH的解析式與拋物線的解析式，聯(lián)立可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，當(dāng)PC+PF最小時(shí)，△PCF的周長(zhǎng)最小，由PF﹣PM＝1可得到PC+PF＝PC+PM+1，故此當(dāng)C、P、M在一條直線上時(shí)，△PCF的周長(zhǎng)最小，然后可求得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2，

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：4a＝1，解得a＝，

∴拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣x+1．

（2）設(shè)CF的解析式為y＝kx+3，將點(diǎn)F的坐標(biāo)F（2，1）代入得：2k+3＝1，解得k＝﹣1，

∴直線CF的解析式為y＝﹣x+3，

由題意P（m，m2﹣m+1），H（m，﹣m+3），

∴PH＝﹣m2+2，

∴m＝0時(shí)，PH的值最大最大值為2，此時(shí)P（0，2）．

（3）由兩點(diǎn)間的距離公式可知：CF＝2．

設(shè)△PCF中，邊CF的上的高線長(zhǎng)為x．則×2x＝2，解得x＝．

過(guò)點(diǎn)C作CG⊥CF，取CG＝．則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（﹣1，2）．

過(guò)點(diǎn)G作GH∥FC，設(shè)GH的解析式為y＝﹣x+b，將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入得：1+b＝2，解得b＝1，

∴直線GH的解析式為y＝﹣x+1，

與 y＝（x﹣2）2聯(lián)立 解得：，

所以△PCF的一個(gè)巧點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）．

顯然，直線GH在CF的另一側(cè)時(shí)，直線GH與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)．

∵FC為定點(diǎn)，

∴CF的長(zhǎng)度不變，

∴當(dāng)PC+PF最小時(shí)，△PCF的周長(zhǎng)最�。�

∵PF﹣PM＝1，

∴PC+PF＝PC+PM+1，

∴當(dāng)C、P、M在一條直線上時(shí)，△PCF的周長(zhǎng)最�。�

∴此時(shí)P（0，1）．

綜上所述，△PCF的巧點(diǎn)有3個(gè)，△PCF的周長(zhǎng)最小時(shí)，“巧點(diǎn)”的坐標(biāo)為（0，1）．