Question

如圖，BE是△ABC的外接⊙O的直徑，CD是△ABC的高．
（1）求證：

AC

BE

=

DC

BC

；
（2）已知：AB=11，AD=3，CD=6，求⊙O的直徑BE的長．

Answer 1

分析：（1）易得，∠BCE=∠ADC=90°，∠A=∠E，故有△ADC∽△ECB，∴CD：BC=AC：BE；
（2）由勾股定理求得AC，BC后，利用△ADC∽△ECB的性質求得BE的值．

解答：（1）證明：連接EC，
∵BE是直徑，∴∠BCE=∠ADC=90°，
又∵∠A=∠E，∴△ADC∽△ECB，
∴CD：BC=AC：BE．

（2）解：由題意知，BD=11-3=8，
在Rt△ACD中，由勾股定理知，AC=

AD2+CD2

=3

5

，
在Rt△BCD中，由勾股定理知，BC=

BD2+CD2

=10，
由（1）知，CD：BC=AC：BE，
∴BE=

AC•BC

CD

=5

5

．

點評：本題利用了勾股定理，直徑對的圓周角是直角，圓周角定理，相似三角形的判定和性質求解．