Question

【題目】如圖①，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°，它的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，5），AB=10，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C的方向勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)D（0，2）出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．

（1）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時，△OPQ的面積S（平方單位）與時間t（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，（如圖②），則點(diǎn)P的運(yùn)動速度為 ；

（2）求（1）中面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S的最大值及S取最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如果點(diǎn)P，Q保持（1）中的速度不變，那么點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而增大；沿著BC邊運(yùn)動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而減小，當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動時，使∠OPQ=90°的點(diǎn)P有 個．

Answer 1

【答案】（1）2個單位/秒；（2）S=（2t+2）（10﹣t），當(dāng)t=時，S有最大值為，此時P（）；（3）2．

【解析】試題分析：（1）由圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動了5秒時，它到達(dá)點(diǎn)B，此時即可求出點(diǎn)P的運(yùn)動速度.

過P作軸，表示出 配方求出最大值即可.

分兩種情況進(jìn)行討論即可.

試題解析：（1）由圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動了5秒時，它到達(dá)點(diǎn)B，此時 因此點(diǎn)P的運(yùn)動速度為10÷5=2個單位/秒，

點(diǎn)P的運(yùn)動速度為2個單位/秒．

故答案是：2個單位/秒；

（2）如圖①，過P作軸，

∵點(diǎn)P的運(yùn)動速度為2個單位/秒．

∴t秒鐘走的路程為2t，即

∵頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為

∴

∴

∴

∴ 又

∴ 即為中OQ邊上的高，

而 可得

∴

∵

∴當(dāng)時，S有最大值為，此時P.

（3）當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動時， 的點(diǎn)P有2個．

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)B重合時，OQ的長是12單位長度，

作交y軸于點(diǎn)M，作軸于點(diǎn)H，

由得:

所以，從而

所以當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動時， 的點(diǎn)P有1個．

②同理當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動時，可算得，

而構(gòu)成直角時交y軸于

所以從而的點(diǎn)P也有1個．

所以當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動時， 的點(diǎn)P有2個．

故答案是：2．