Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點E、F分別在邊AB、ABC上，且AE=BF=1，CE、DF相交于點O，下列結論： ①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD= ，④△COD的面積等于四邊形BEOF的面積中，正確的有 （ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵正方形ABCD的邊長為4， ∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°，
∵AE=BF=1，
∴BE=CF=4﹣1=3，
在△EBC和△FCD中，
，
∴△EBC≌△FCD（SAS），
∴∠CFD=∠BEC，
∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，
∴∠DOC=90°，故①正確；
連接DE，如圖所示：

若OC=OE，
∵DF⊥EC，
∴CD=DE，
∵CD=AD＜DE（矛盾），故②錯誤；
∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠OCD=∠DFC，
∴tan∠OCD=tan∠DFC= = ，故③正確；
∵△EBC≌△FCD，
∴S△EBC=S△FCD ，
∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC ，
即S△ODC=S四邊形BEOF ， 故④正確；
故選C．
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質和解直角三角形的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能正確解答此題．