Question

【題目】如圖，已知拋物線C1：y＝x2﹣2x﹣，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，已知M（4，0），點P是拋物線上的點，其橫坐標為6，點D為拋物線的頂點．

（1）求S△ABC．

（2）點E、F是拋物線對稱軸上的兩動點，且已知E（2，a+）、F（2，a），當a為何值時，四邊形PEFM周長最��？并說明理由．

（3）將拋物線C1繞點D旋轉180°后得到拋物線C2沿直線CD平移，平移后的拋物線交y軸于點Q，頂點為R，平移后是否存在這樣的拋物線，使△CRQ為等腰三角形？若存在，請求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）S＝3+；（2）a＝；（3）當a＝2時，拋物線解析式為y（x﹣2）2﹣2；當a＝﹣2+2時，拋物線解析式為y（x+2﹣2）2+2﹣2．

【解析】

（1）對于拋物線C1，令x＝0及y＝0，分別求出y與x的值，確定出C，A，B坐標，得到AB與OC的長，即可求出三角形ABC面積；

（2）如圖所示，作M關于對稱軸的對稱點O，將點O向上平移個單位得到M′，連接PM′，與對稱軸交于點F，此時四邊形PEFM周長最小，求出M′與P坐標，利用待定系數法確定出直線M′P解析式，令x＝2求出y的值，即可確定出此時a的值；

（3）根據題意，利用旋轉性質確定出拋物線C2與直線CD解析式，再利用平移性質確定出拋物線C2平移后的解析式，表示出C，R，Q坐標，進而表示出CR2，CQ2，RQ2，根據CR2＝CQ2；CR2＝RQ2；CQ2＝RQ2，分別求出a的值即可．

（1）對于拋物線C1：yx2﹣2x，令x＝0，得到：y，即C（0，），令y＝0，得到：x2﹣2x0，解得：x1＝1，x2＝3，∴A（1，0），B（3，0），則S[（3）﹣（1）]；

（2）如圖所示，作M關于對稱軸的對稱點O，將點O向上平移個單位得到M′，連接PM′，與對稱軸交于點F，此時四邊形PEFM周長最小，易得M′（0，），P（6，6），設直線PM′解析式為y＝kx+b，把M′與P坐標代入得：，解得：，∴y，令x＝2，得到：y，∴a，解得：a；

（3）易得拋物線C1：y（x﹣2）2﹣2，旋轉180°后拋物線C2：y（x﹣2）2﹣2，直線CD解析式為y＝﹣x，設拋物線C2平移后的關系式為y（x﹣a）2﹣a，易得C（0，），R（a，﹣a），Q（0，a2﹣a），CR2＝a2+a2，CQ2＝a2（a+1）2，RQ2＝a2a4，分三種情況討論：

①當CR2＝CQ2時，得到：a2+a2＝a2（a+1）2，解得：a＝﹣2+2或a＝﹣2﹣2（舍去）；

②當CR2＝RQ2時，得到：a2+a2＝a2a4，解得：a＝2或a＝﹣2（舍去）；

③當RQ2＝CQ2時，得到：a2（a+1）2＝a2a4，解得：a＝0（舍去）．

綜上所述：當a＝2時，拋物線解析式為y（x﹣2）2﹣2；當a＝﹣2+2時，拋物線解析式為y（x+2﹣2）2+2﹣2．