【題目】已知過(guò)原點(diǎn)O的兩直線與圓心為M(0,4),半徑為2的圓相切,切點(diǎn)分別為P、Q,PQ交y軸于點(diǎn)K,拋物線經(jīng)過(guò)P、Q兩點(diǎn),頂點(diǎn)為N(0,6),且與x軸交于A、B兩點(diǎn).
(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)求拋物線解析式;
(3)在直線y=nx+m中,當(dāng)n=0,m≠0時(shí),y=m是平行于x軸的直線,設(shè)直線y=m與拋物線相交于點(diǎn)C、D,當(dāng)該直線與⊙M相切時(shí),求點(diǎn)A、B、C、D圍成的多邊形的面積(結(jié)果保留根號(hào)).
【答案】
(1)解:如圖1,
∵⊙M與OP相切于點(diǎn)P,
∴MP⊥OP,即∠MPO=90°.
∵點(diǎn)M(0,4)即OM=4,MP=2,
∴OP=2 .
∵⊙M與OP相切于點(diǎn)P,⊙M與OQ相切于點(diǎn)Q,
∴OQ=OP,∠POK=∠QOK.
∴OK⊥PQ,QK=PK.
∴PK= = = .
∴OK= =3.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ,3)
(2)解:如圖2,
設(shè)頂點(diǎn)為(0,6)的拋物線的解析式為y=ax2+6,
∵點(diǎn)P( ,3)在拋物線y=ax2+6上,
∴3a+6=3.
解得:a=﹣1.
則該拋物線的解析式為y=﹣x2+6
(3)解:當(dāng)直線y=m與⊙M相切時(shí),
則有 =2.
解得;m1=2,m2=6.
①m=2時(shí),如圖3,
則有OH=2.
當(dāng)y=2時(shí),解方程﹣x2+6=2得:x=±2,
則點(diǎn)C(2,2),D(﹣2,2),CD=4.
同理可得:AB=2 .
則S梯形ABCD= (DC+AB)OH= (4+2 )×2=4+2 .
②m=6時(shí),如圖4,
此時(shí)點(diǎn)C、點(diǎn)D與點(diǎn)N重合.
S△ABC= ABOC= ×2 ×6=6 .
綜上所述:點(diǎn)A、B、C、D圍成的多邊形的面積為4+2 或6
【解析】(1)由切線的性質(zhì)可∠MPO=90°,根據(jù)勾股定理可求出PO,然后由面積法可求出PK,然后運(yùn)用勾股定理可求出OK,就可得到點(diǎn)P的坐標(biāo).(2)可設(shè)頂點(diǎn)為(0,6)的拋物線的解析式為y=ax2+6,然后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入就可求出拋物線的解析式.(3)直線y=m與⊙M相切有兩種可能,只需對(duì)這兩種情況分別討論就可求出對(duì)應(yīng)多邊形的面積.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用切線長(zhǎng)定理和等腰三角形的性質(zhì),掌握從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角;等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱:等邊對(duì)等角)即可以解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義{a,b,c}為函數(shù)y=ax2+bx+c的“特征數(shù)”.
(1)“特征數(shù)”為{﹣1,2,3}的函數(shù)解析式為 , 將“特征數(shù)”為{0,1,1}的函數(shù)向下平移兩個(gè)單位以后得到的函數(shù)解析式為;
(2)我們把橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為“整點(diǎn)”,試問(wèn):在上述兩空填寫(xiě)的函數(shù)圖象圍成的封閉圖形(包含邊界)內(nèi)共有多少個(gè)整點(diǎn)?請(qǐng)給出詳細(xì)的運(yùn)算過(guò)程;
(3)定義“特征數(shù)”的運(yùn)算:①{a1 , b1 , c1}+{a2 , b2 , c2}={a1+a2 , b1+b2 , c1+c2};②λ{(lán)a1 , b1 , c1}={λa1 , λb1 , λc1}(其中λ為任意常數(shù)).試問(wèn):“特征數(shù)”為{﹣1,2,3}+λ{(lán)0,1,﹣1}的函數(shù)是否過(guò)定點(diǎn)?如果過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)計(jì)算出該定點(diǎn)坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明你的理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直線l:y=kx+b(k≠0)的圖象與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn),A(﹣2,0),B(0,1).
(1)求直線l的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí)P的坐標(biāo);
(3)在y軸上有點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)D在直線l上,若△ACD面積等于4,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊為的1正方形組成的網(wǎng)格中,建立平面直角坐標(biāo)系,若A(﹣4,2)、B(﹣2,3)、C(﹣1,1),將△ABC沿著x軸翻折后,得到△DEF,點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)E,求過(guò)點(diǎn)E的反比例函數(shù)解析式,并寫(xiě)出第三象限內(nèi)該反比例函數(shù)圖象所經(jīng)過(guò)的所有格點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有2條生產(chǎn)線計(jì)劃在一個(gè)月(30天)內(nèi)組裝520臺(tái)產(chǎn)品(每天產(chǎn)品的產(chǎn)量相同),按原先的組裝速度,不能完成任務(wù);若加班生產(chǎn),每條生產(chǎn)線每天多組裝2臺(tái)產(chǎn)品,能提前完成任務(wù).
(1)每條生產(chǎn)線原先每天最多能組裝多少臺(tái)產(chǎn)品?
(2)要按計(jì)劃完成任務(wù),策略一:增添1條生產(chǎn)線,共要多投資19000元;策略二:按每天能組裝最多臺(tái)數(shù)加班生產(chǎn),每條生產(chǎn)線每天共要多花費(fèi)350元;選哪一個(gè)策略較省費(fèi)用?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD為等腰梯形,AD∥BC,AB=CD,AD= ,E為CD中點(diǎn),連接AE,且AE=2 ,∠DAE=30°,作AE⊥AF交BC于F,則BF=( )
A.1
B.3﹣
C. ﹣1
D.4﹣2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,⊙M過(guò)原點(diǎn)O,與x軸交于A(4,0),與y軸交于B(0,3),點(diǎn)C為劣弧AO的中點(diǎn),連接AC并延長(zhǎng)到D,使DC=4CA,連接BD.
(1)求⊙M的半徑;
(2)證明:BD為⊙M的切線;
(3)在直線MC上找一點(diǎn)P,使|DP﹣AP|最大.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有一列按一定順序和規(guī)律排列的數(shù):
第一個(gè)數(shù)是 ;
第二個(gè)數(shù)是 ;
第三個(gè)數(shù)是 ;
…
對(duì)任何正整數(shù)n,第n個(gè)數(shù)與第(n+1)個(gè)數(shù)的和等于 .
(1)經(jīng)過(guò)探究,我們發(fā)現(xiàn):
設(shè)這列數(shù)的第5個(gè)數(shù)為a,那么 , , ,哪個(gè)正確?
請(qǐng)你直接寫(xiě)出正確的結(jié)論;
(2)請(qǐng)你觀察第1個(gè)數(shù)、第2個(gè)數(shù)、第3個(gè)數(shù),猜想這列數(shù)的第n個(gè)數(shù)(即用正整數(shù)n表示第n數(shù)),并且證明你的猜想滿足“第n個(gè)數(shù)與第(n+1)個(gè)數(shù)的和等于 ”;
(3)設(shè)M表示 , , ,…, ,這2016個(gè)數(shù)的和,即 ,
求證: .
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