Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線y＝（k≠0）與直線y＝的交點(diǎn)為A（a，﹣1），B（2，b）兩點(diǎn)，雙曲線上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，直線PA，PB與x軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N，連接AN．

（1）直接寫出a，k的值；

（2）求證：PM＝PN，PM⊥PN．

Answer 1

【答案】（1）k＝2；（2）詳見解析；

【解析】

（1）依據(jù)雙曲線y＝（k≠0）與直線y＝的交點(diǎn)為A（a，﹣1），B（2，b）兩點(diǎn)，可得點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，進(jìn)而得到a，k的值；

（2）根據(jù)雙曲線y＝上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），進(jìn)而得到直線PA，PB的函數(shù)表達(dá)式分別為y＝x+1，y＝﹣x+3，求得直線PA，PB與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為M（﹣1，0），N（3，0），即可得到PM＝PN，PM⊥PN．

解：（1）∵雙曲線y＝（k≠0）與直線y＝的交點(diǎn)為A（a，﹣1），B（2，b）兩點(diǎn)，

∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，

∴a＝﹣2，b＝1，

∴把A（﹣2，﹣1）代入雙曲線y＝，可得k＝2；

（2）證明：∵雙曲線y＝上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），

∴直線PA，PB的函數(shù)表達(dá)式分別為y＝x+1，y＝﹣x+3，

∴直線PA，PB與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為M（﹣1，0），N（3，0），

∴PM＝2，PN＝2，MN＝4，

∴PM＝PN，PM2+PN2＝MN2，

∴∠MPN＝90°，

∴PM⊥PN．