Question

【題目】問題呈現(xiàn)

如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=20，BC=10，以CD為一邊向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G=90°，點M在線段AB上，且AM=a，點P沿折線AD-DG運動，點Q沿折線BC-CG運動（與點G不重合），在運動過程中始終保持線段PQ//AB.設(shè)PQ與AB之間的距離為x.

（1）若a=12.①如圖1，當(dāng)點P在線段AD上時，若四邊形AMQP的面積為48，則x的值為_________；

②在運動過程中，求四邊形AMQP的最大面積；

（2）如圖2，若點P在線段DG上時，要使四邊形AMQP的面積始終不小于50，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①3，②x=13時，S四AMQP最大值=169；（2）5≤a≤20.

【解析】

(1)①P在線段AD上，PQ=AB=20，AP=x，AM=12，由梯形面積公式得出方程，解方程即可；

②分點P在AD上、點P在DG上，兩種情況，根據(jù)梯形的面積以及二次函數(shù)的性質(zhì)分別求出兩種情況下面積的最大值，比較即可得；

(2)P在DG上，則10≤x≤20，AM=a， PQ=40-2x，可得S四邊形AMQP=，得出對稱軸為：x=，繼而得出10≤≤15，對稱軸在10到15之間，再根據(jù)10≤x≤20，二次函數(shù)圖象的開口向下，可知當(dāng)x=20時，S最小，得出≥50，求出a≥5，即可得出答案.

(1)①P在線段AD上，PQ=AB=20，AP=x，AM=a=12，

S四邊形AMQP=，

解得x=3，

故答案為：3；

②當(dāng)P在AD上時，P到D點時四邊形AMQP的面積最大，此時為直角梯形，

∴0≤x≤10時，S四邊形AMQP=，

當(dāng)x=10時，S四邊形AMQP最大值=160；

當(dāng)P在DG上，即10≤x≤20，四邊形AMQP為不規(guī)則梯形，

如圖，作PO⊥AB于M，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，交PQ于點H，

則PO=x，PN=x-10，EF=BC=10，

∵△GDC是等腰直角三角形，

∴DE=CE，GE=CD=10，

∴GF=GE+EF=20，∴GH=20-x，

由題意，PQ//CD，

∴△GPQ∽△GDC，

∴PQ：DC=GH：GE，

即PQ：20=(20-x):10，

∴PQ=40-2x，

∴S梯形AMQP==-x2+26x=-(x-13)2+169，

∴當(dāng)x=13時，四邊形AMQP的面積最大為169，

綜上：x=13時，S四邊形AMQP最大值=169；

(2)P在DG上，則10≤x≤20，AM=a，由(1)知：PQ=40-2x，

S四邊形AMQP=，

對稱軸為：x=，開口向下，

∵0≤a≤20，

∴10≤≤15，對稱軸在10到15之間，

∵10≤x≤20，二次函數(shù)圖象的開口向下，

∴當(dāng)x=20時，S最小，

∴≥50，

∴a≥5，

綜上所述：5≤a≤20.