Question

（2012•順義區(qū)一模）已知關(guān)于x的方程（k-1）x²+2kx+k+3=0．
（1）若方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；
（2）當(dāng)方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根時，求關(guān)于y的方程y²+（a-4k）y+a+1=0的整數(shù)根（a為正整數(shù)）．

Answer 1

分析：（1）由方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，即可得此一元二次方程的根的判別式△＞0，又由二次項(xiàng)系數(shù)k-1≠0，即可求得k的取值范圍；
（2）首先由方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，即△=0，求得k的值，即可得方程y²+（a-6）y+a+1=0，又由此方程的判別式△′=（a-8）²-32，可得當(dāng)（a-8）²-32是完全平方數(shù)時，方程才有可能有整數(shù)根，繼而分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的方程（k-1）x²+2kx+k+3=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac=（2k）²-4×（k-1）×（k+3）=4k²-4k²-8k+12=-8k+12＞0…（1分）
解得：k＜

3

2

，
∵k-1≠0，即k≠1，
∴k的取值范圍是k＜

3

2

且k≠1． …（3分）

（2）∵當(dāng)方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根時，△=-8k+12=0．
∴k=

3

2

． …（4分）
∴關(guān)于y的方程為y²+（a-6）y+a+1=0．
∴△′=（a-6）²-4（a+1）=a²-12a+36-4a-4=a²-16a+32=（a-8）²-32．
由a為正整數(shù)，當(dāng)（a-8）²-32是完全平方數(shù)時，方程才有可能有整數(shù)根．
設(shè)（a-8）²-32=m²（其中m為整數(shù)），32=p•q（p、q均為整數(shù)），
∴（a-8）²-m²=32．即（a-8+m）（a-8-m）=32．
不妨設(shè)

a-8+m=p a-8-m=q.

兩式相加，得a=

p+q+16

2

．
∵（a-8+m）與（a-8-m）的奇偶性相同，
∴32可分解為2×16，4×8，（-2）×（-16），（-4）×（-8），
∴p+q=18或12或-18或-12．
∴a=17或14或-1（不合題意，舍去）或2．
當(dāng)a=17時，方程的兩根為y=

-11±7

2

，即y₁=-2，y₂=-9．…（5分）
當(dāng)a=14時，方程的兩根為y=

-8±2

2

，即y₁=-3，y₂=-5．…（6分）
當(dāng)a=2時，方程的兩根為y=

4±2

2

，即y₁=3，y₂=1． …（7分）

點(diǎn)評：此題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．此題難度較大，注意掌握一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac的關(guān)系，注意分類討論思想的應(yīng)用．