Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，，，，，點P從點B出發(fā)，沿線段BA，向點A以的速度勻速運動；點Q從點D出發(fā)，沿線段DC向點C以的速度勻速運動，已知兩點同時出發(fā)，當(dāng)一個點到達終點時，另一點也停止運動，設(shè)運動時間為．

（1）連結(jié)P、Q兩點，則線段PQ長的取值范圍是________；

（2）當(dāng)cm時，求t的值；

（3）若在線段CD上有一點E，cm，連結(jié)AC和PE．請問是否存在某一時刻使得AC平分PE？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t的值為2或；（3）存在某一時刻使得AC平分PE，此時t的值為4．

【解析】

（1）先確認(rèn)線段PQ取最大值與最小值時點P、Q的位置，再根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理求解即可；

（2）先根據(jù)勾股定理求出FQ的長，再根據(jù)分兩種情況：點Q在點F左側(cè)和點Q在點F右側(cè)，然后根據(jù)圖中的建立方程求解即可得；

（3）當(dāng)AC平分PE時，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，然后分點Q在點E左側(cè)和點Q在點E右側(cè)，分別建立方程求解即可得．

（1）四邊形ABCD中，

四邊形ABCD是直角梯形

由題意可知，在點P、Q運動過程中，當(dāng)點P在點B處，點Q在點D處時，線段PQ取得最大值BD；當(dāng)時，線段PQ取得最小值，此時

如圖1，過點A作，連接BD，則四邊形ABCM是矩形

則線段PQ長的取值范圍是

故答案為：；

（2）點P運動到點A所需時間為；點Q運動到C所需時間為

由題意得，

如圖2，過點P作，則四邊形BCFP是矩形

因，則分以下兩種情況：

①當(dāng)點Q在點F左側(cè)時，

即，解得，符合題意

②當(dāng)點Q在點F右側(cè)時，即點Q在點處

則，解得，符合題意

綜上，t的值為2或；

（3）存在某一時刻使得AC平分PE，求解過程如下：

如圖3，設(shè)AC與PE相交于點O

當(dāng)AC平分PE時，

在和中，

由題意，分以下兩種情況：

①當(dāng)點Q在點E左側(cè)時，

即，解得，符合題意

②當(dāng)點Q在點E右側(cè)時，即點Q在點處，

則，解得，不符題意，舍去

綜上，存在某一時刻使得AC平分PE，此時t的值為4．