【題目】在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度α得到△DEC,點A、B的對應(yīng)點分別是D、E.
(1)當(dāng)點E恰好在AC上時,如圖1,求∠ADE的大;
(2)若α=60°時,點F是邊AC中點,如圖2,求證:四邊形BEDF是平行四邊形.
【答案】(1)∠ADE=15°;(2)見解析.
【解析】
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CA=CD,∠ECD=∠BCA=30°,∠DEC=∠ABC=90°,根據(jù)等邊對等角即可求出∠CAD=∠CDA=75°,再根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余即可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BF=AC,然后根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半即可求出AB=AC,從而得出 BF=AB,然后證出△ACD和△BCE為等邊三角形,再利用HL證出△CFD≌△ABC,證出DF=BE,即可證出結(jié)論.
(1)解:∵△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α得到△DEC,點E恰好在AC上,
∴CA=CD,∠ECD=∠BCA=30°,∠DEC=∠ABC=90°,
∴∠CAD=∠CDA=(180°﹣30°)=75°,
∴∠ADE=90°﹣∠CAD=15°;
(2)證明:如圖2,連接AD
∵點F是邊AC中點,
∴BF=AF=CF=AC,
∵∠ACB=30°,
∴AB=AC,
∴BF=CF=AB,
∵△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60得到△DEC,
∴∠BCE=∠ACD=60°,CB=CE,DE=AB,DC=AC
∴DE=BF,△ACD和△BCE為等邊三角形,
∴BE=CB,
∵點F為△ACD的邊AC的中點,
∴DF⊥AC,
在Rt△CFD和Rt△ABC中
∴Rt△CFD≌Rt△ABC,
∴DF=BC,
∴DF=BE,
而BF=DE,
∴四邊形BEDF是平行四邊形.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點N為邊DC上一動點(不與C、D重合),連接BN,作C關(guān)于直線BN的對稱點C′連接B C′, C′N,當(dāng)C′恰好在△ABD的邊上時,CN的長為__________.
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【題目】在菱形中,,點是對角線上一動點,將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)120°到,連接,連接并延長,分別交于點.
(1)求證:;
(2)已知,若的最小值為,求菱形的面積.
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【題目】2020年初,新冠肺炎肆虐全球.我國政府和人民采取了積極有效的防疫措施,疫情在我國得到了有效控制.小明為復(fù)學(xué)到藥店購買口罩和一次性醫(yī)用口罩.已知購買個口罩和個一次性醫(yī)用口罩共需元;購買個口罩和個一次性醫(yī)用罩共需元.
(1)求口罩與一次性醫(yī)用口罩的單價;
(2)小明準(zhǔn)備購買口罩和一次性醫(yī)用口罩共個,且口罩的數(shù)量不少于一次性醫(yī)用口罩?jǐn)?shù)量的.請設(shè)計出最省錢的購買方案,并說明理由.
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【題目】如圖,已知反比例函數(shù)的圖象過Rt△ABO斜邊OB的中點D,與直角邊AB相交于點C,連接AD,OC.若△ABO的周長為,AD=2,則△ACO的面積為_________.
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【題目】如圖1,點C在線段AB上,(點C不與A、B重合),分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE,連接AE、BD交于點P.
(觀察猜想)
①AE與BD的數(shù)量關(guān)系是 ;
②∠APD的度數(shù)為 .
(數(shù)學(xué)思考)
如圖2,當(dāng)點C在線段AB外時,(1)中的結(jié)論①、②是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,請你寫出正確結(jié)論再給予證明;
(拓展應(yīng)用)
如圖3,點E為四邊形ABCD內(nèi)一點,且滿足∠AED=∠BEC=90°,AE=DE,BE=CE,對角線AC、BD交于點P,AC=10,則四邊形ABCD的面積為 .
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【題目】如圖,拋物線與軸交于、兩點(點在點的左邊),與軸交于點,點是拋物線的頂點.
(1)求、、三點的坐標(biāo);
(2)連接,,,若點為拋物線上一動點,設(shè)點的橫坐標(biāo)為,當(dāng)時,求的值(點不與點重合);
(3)連接,將沿軸正方向平移,設(shè)移動距離為,當(dāng)點和點重合時,停止運動,設(shè)運動過程中與重疊部分的面積為,請直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)自變量的取值范圍.
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【題目】已知直線y=﹣x+8與x軸、y軸分別交于點A和點B,M是OB上的一點,若將△ABM沿AM折疊,點B恰好落在x軸上的點B′處,則直線AM的函數(shù)解析式是( 。
A. y=﹣x+8 B. y=﹣x+8 C. y=﹣x+3 D. y=﹣x+3
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【題目】為有效解決交通擁堵問題,營造路網(wǎng)微循環(huán),某市決定對一條長的道路進行改造拓寬.為了盡量減輕施工對城市交通造成的影響,實際施工時,每天改造道路的長度比原計劃增加,結(jié)果提前天完成任務(wù),求實際每天改造道路的長度與實際施工天數(shù).嘉琪同學(xué)根據(jù)題意列出方程,則方程中未知數(shù)所表示的量是( )
A.實際每天改造道路的長度B.原計劃每天改造道路的長度
C.原計劃施工的天數(shù)D.實際施工的天數(shù)
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