Question

【題目】△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D．
（1）如圖1，作∠ADB的角平分線DF交BE于點F，連接AF．求證：∠FAB=∠FBA；
（2）如圖2，連接DE，點G與點D關(guān)于直線AC對稱，連接DG、EG
①依據(jù)題意補全圖形；
②用等式表示線段AE、BE、DG之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②GD+AE=BE．理由見解析

【解析】

（1）欲證明∠FAB=∠FBA，由△ADF≌△BDF推出AF=BF即可解決問題．
（2）①根據(jù)條件畫出圖形即可．
②數(shù)量關(guān)系是：GD+AE=BE．過點D作DH⊥DE交BE于點H，先證明△ADE≌△BDH，再證明四邊形GEHD是平行四邊形即可解決問題．

（1）如圖1中，

∵AD⊥BC，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AD=BD，
∵DF平分∠ADB，
∴∠1=∠2，
在△ADF和△BDF中，
，
∴△ADF≌△BDF．
∴AF=BF，
∴∠FAB=∠FBA．
（2）①補全圖形如圖2中所示，

②數(shù)量關(guān)系是：GD+AE=BE．
理由：過點D作DH⊥DE交BE于點H
∴∠ADE+∠ADH=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDH+∠ADH=90°，
∴∠ADE=∠BDH，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，∠AKE=∠BKD，
∴∠DAE=∠DBH，
在△ADE和△BDH中，
，
∴△ADE≌△BDH．
∴DE=DH，AE=BH，
∵DH⊥DE，
∴∠DEH=∠DHE=45°，
∵BE⊥AC，
∴∠DEC=45°，∵點G與點D關(guān)于直線AC對稱，
∴AC垂直平分GD，
∴GD∥BE，∠GEC=∠DEC=45°，
∴∠GED=∠EDH=90°，
∴GE∥DH，
∴四邊形GEHD是平行四邊形
∴GD=EH，
∴GD+AE=BE．