Question

【題目】已知：∠AOB=30°，點P是∠AOB 內(nèi)部及射線OB上一點，且OP=10cm．

（1）若點P在射線OB上，過點P作關(guān)于直線OA的對稱點，連接O、P， 如圖①求P的長．

（2）若過點P分別作關(guān)于直線OA、直線OB的對稱點、，連接O、O、如圖②， 求的長．

（3）若點P在∠AOB 內(nèi)，分別在射線OA、射線OB找一點M，N，使△PMN的周長取最小值，請直接寫出這個最小值．如圖③

Answer 1

【答案】（1）= 10cm；（2）= 10cm；（3）最小值是10cm.

【解析】

（1）根據(jù)對稱的性質(zhì)可得OP=O，∠PO=2∠AOB=60° ，從而證出△PO是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)可得OP=O，OP=O ，∠PO=2∠AOP ，∠ PO=2∠BOP，然后證出△PO是等邊三角形即可得出結(jié)論；

（3）過點P分別作關(guān)于直線OA、直線OB的對稱點、，連接O、O、，分別交OA、OB于點M、N，連接PM、PN，根據(jù)兩點之間線段最短即可得出此時△PMN的周長最小，且最小值為的長，然后根據(jù)（2）即可得出結(jié)論．

解：（1） ∵ 點P與 關(guān)于直線OA對稱，∠AOB=30°

∴ OP=O，∠PO=2∠AOB=60°

∴ △PO是等邊三角形

∵ OP=10cm

∴ = 10cm

（2） ∵ 點P與 關(guān)于直線OA對稱，點P與關(guān)于直線OB對稱，∠AOB=30°

∴ OP=O，OP=O ，∠PO=2∠AOP ，∠ PO=2∠BOP

∴ O=O，∠O=∠PO＋∠ PO=2（∠AOP＋∠BOP）=2∠AOB=60°

∴ △PO是等邊三角形

∵ OP=10cm

∴ = 10cm

（3）過點P分別作關(guān)于直線OA、直線OB的對稱點、，連接O、O、，分別交OA、OB于點M、N，連接PM、PN，如下圖所示

根據(jù)對稱的性質(zhì)可得PM=M，PN=N

∴△PMN的周長=PM＋PN＋MN=M＋N＋MN=，根據(jù)兩點之間線段最短可得此時△PMN的周長最小，且最小值為的長

由（2）知此時=10cm

∴△PMN的周長最小值是10cm．