【題目】如圖,直線l經(jīng)過⊙O的圓心O,且與⊙O交于A、B兩點,點C⊙O上,且∠AOC=30°,點P是直線l上的一個動點(與圓心O不重合),直線CP⊙O相交于點Q.是否存在點P,使得QP=QO;若存在,求出相應(yīng)的∠OCP的大;若不存在,請簡要說明理由.

【答案】40°、20°、100°.

【解析】

P是直線l上的一個動點,因而點P與線段AO有三種位置關(guān)系,在線段AO上,點POB上,點POA的延長線上.分這三種情況進行討論即可.

①根據(jù)題意,畫出圖(1),

QOC中,OC=OQ,

∴∠OQC=OCP,

OPQ中,QP=QO,

∴∠QOP=QPO,

又∵∠AOC=30°,

∴∠QPO=OCP+AOC=OCP+30°,

OPQ中,∠QOP+QPO+OQC=180°,

即(∠OCP+30°)+(OCP+30°)+OCP=180°,

整理得,3OCP=120°,

∴∠OCP=40°.

②當(dāng)P在線段OA的延長線上(如圖2)

OC=OQ,

∴∠OQP=(180°﹣QOC)×

OQ=PQ,

∴∠OPQ=(180°﹣OQP)×,

OQP中,30°+QOC+OQP+OPQ=180°,

把①②代入③得∠QOC=20°,則∠OQP=80°

∴∠OCP=100°;

③當(dāng)P在線段OA的反向延長線上(如圖3),

OC=OQ,

∴∠OCP=OQC=(180°﹣COQ)×,

OQ=PQ,

∴∠P=(180°﹣OQP)×,

∵∠AOC=30°,

∴∠COQ+POQ=150°

∵∠P=POQ,2P=OCP=OQC,

①②③④聯(lián)立得

P=10°,

∴∠OCP=180°﹣150°﹣10°=20°.

故答案為:40°、20°、100°.

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1)兩地之間的距離為______km;

2)請解釋圖中點B的實際意義;

3)求兩人的速度分別是每小時多少km?

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2)若過點P分別作關(guān)于直線OA、直線OB的對稱點、,連接O、O如圖②, 的長.

3)若點P在∠AOB 內(nèi),分別在射線OA、射線OB找一點M,N,使PMN的周長取最小值,請直接寫出這個最小值.如圖③

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向上點數(shù)

1

2

3

4

5

6

出現(xiàn)次數(shù)

8

10

7

9

16

10

(1)計算出現(xiàn)向上點數(shù)為6的頻率.

(2)丙說:如果拋600次,那么出現(xiàn)向上點數(shù)為6的次數(shù)一定是100次.請判斷丙的說法是否正確并說明理由.

(3)如果甲乙兩同學(xué)各拋一枚骰子,求出現(xiàn)向上點數(shù)之和為3的倍數(shù)的概率.

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