Question

【題目】如圖1,直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn),OC平分∠AOB交AB于點(diǎn)C,點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn),過點(diǎn)D作DE//OC交y軸于點(diǎn)E,已知AO=m,BO=n,且m、n滿足n2-12+36+|n-2m|=0.

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)?

(2)若點(diǎn)D為AB中點(diǎn),求OE的長?

(3)如圖2,若點(diǎn)P(x,-2x+6)為直線AB在x軸下方的一點(diǎn),點(diǎn)E是y軸的正半軸上一動點(diǎn),以E為直角頂點(diǎn)作等腰直角△PEF,使點(diǎn)F在第一象限,且F點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)始終相等,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) 點(diǎn)A為（3,0），點(diǎn)B為（0,6）;(2) OE=1.5;(3) 點(diǎn)P為（6，-6）.

【解析】分析：（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出方程（n-6）2=0，|n-2m|=0，求得m=3，n=6，即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）延長DE交x軸于點(diǎn)F，延長FD到點(diǎn)G，使得DG=DF，連接BG，構(gòu)造全等三角形，再根據(jù)BG=BE列出關(guān)于x的方程，即可求得OE的長；（3）分別過點(diǎn)F、P作FM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)E為（0，m），構(gòu)造全等三角形，再根據(jù)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，得出方程m+2x-6=m+x，解得：x=6，即可得到點(diǎn)P為（6，-6）．

本題解析：

（1）∵

∴

∵，

∴,

∴ m=3，n=6

∴點(diǎn)A為（3,0），點(diǎn)B為（0,6）

（2）延長DE交x軸于點(diǎn)F，延長FD到點(diǎn)G，使得DG=DF，連接BG

設(shè)OE=x

∵OC平分∠AOB

∴∠BOC=∠AOC=45°

∵DE∥OC

∴∠EFO=∠FEO=∠BEG=∠BOC=∠AOC=45°

∴OE=OF=x

在△ADF和△BDG中

∵

∴△ADF≌△BDG（SAS）

∴BG=AF=3+x，∠G=∠AFE=45°

∴∠G=∠BEG=45°

∴BG=BE=6-x

∴6-x=3+x

解得：x=1.5

∴OE=1.5

（3）分別過點(diǎn)F、P作FM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N

設(shè)點(diǎn)E為（0，m）

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-2x+6）

則PN=x，EN=m+2x-6

∵∠PEF=90°

∴∠PEN+∠FEM=90°

∵FM⊥y軸

∴∠MFE+∠FEM=90°

∴∠PEN=∠MFE

在△EFM和△PEN中

∵

∴△EFM≌△PEN（AAS）

∴ME=NP=x，FM=EN=m+2x-6

∴點(diǎn)F為（m+2x-6，m+x）

∵F點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等

∴m+2x-6=m+x

解得：x=6

∴點(diǎn)P為（6，-6）