Question

【題目】如圖，在矩形中，.動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合）作，交或于點(diǎn)，交或于點(diǎn)，以為邊向右作正方形.設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.

（1）①_________________；

②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，用含的代數(shù)式直接表示線段的長(zhǎng).

（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的值；

（3）設(shè)正方形的周長(zhǎng)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）直接寫出對(duì)角線所在的直線將正方形分成兩部分圖形的面積比為1：2時(shí)的值.

Answer 1

【答案】（1）①15；②；（2）t＝；（3）；（4）或.

【解析】

（1）①由矩形的性質(zhì)和勾股定理即可得出結(jié)果；

②先證明△APF∽△ADC，可得，進(jìn)一步即可得出結(jié)果；

（2）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖1，證明△APD∽△ADC，得出，進(jìn)一步即可求得結(jié)果；

（3）分情況討論：

①當(dāng)0＜t≤時(shí)，如圖2所示，由（1）②得：PF＝8t，同理可得：PE與t的關(guān)系，從而可得EF與t的關(guān)系，進(jìn)而可得結(jié)果；

②當(dāng)＜t≤3時(shí)，如圖3所示，此時(shí)EF的長(zhǎng)與圖1中點(diǎn)F、D重合時(shí)DE的長(zhǎng)相等，求出此時(shí)EF的長(zhǎng)即可得出結(jié)果；

③當(dāng)3＜t＜時(shí)，如圖4所示，同（1）①得：△CPF∽△ABC∽△EPC，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可得出PF、PE與t的關(guān)系，進(jìn)而可得EF與t的關(guān)系式，問(wèn)題即得解決；

（4）由（2）題可知，對(duì)角線AC所在的直線將正方形EFGH分成兩部分圖形的面積比為1：2時(shí)，只有在圖3中可能出現(xiàn)，再分PE：PF＝1：2或PF：PE＝1：2兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)和圖3的結(jié)論：EF=10討論求解即可．

解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，

∴AC＝；

故答案為：15；

②∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝6，

∵EF⊥AC，∴∠APF＝90°＝∠D，

∵∠PAF＝∠DAC，∴△APF∽△ADC，

∴，即，解得：PF＝8t；

（2）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖1所示：

∵∠APD＝∠ADC＝90°，∠PAD＝∠DAC，

∴△APD∽△ADC，

∴，即，

解得：t＝；

（3）①當(dāng)0＜t≤時(shí)，如圖2所示：

由（1）②得：PF＝8t，同理可求得：PE＝2t，∴EF＝10t，

∴l＝4EF＝40t；

②當(dāng)＜t≤3時(shí)，如圖3所示：此時(shí)EF的長(zhǎng)與圖1中點(diǎn)F、D重合時(shí)DE的長(zhǎng)相等，

∴EF＝10t＝，∴l＝4×＝30．

③當(dāng)3＜t＜時(shí)，如圖4所示：同（1）①得：△CPF∽△ABC∽△EPC，

∴，，即，，

解得：PF＝（15﹣4t），PE＝2（15﹣4t），

∴EF＝PF+PE＝（15﹣4t），

∴l＝4×（15﹣4t）＝﹣40t+150；

綜上，與之間的函數(shù)關(guān)系式是：；

（4）由（2）題可知，對(duì)角線AC所在的直線將正方形EFGH分成兩部分圖形的面積比為1：2時(shí)，只有在圖3中可能出現(xiàn)，則PE：PF＝1：2，或PF：PE＝1：2，

①PE：PF＝1：2時(shí)，∵EF＝，∴PF＝EF＝5，

∵△CPF∽△CDA，∴，即，解得：PF＝（15﹣4t），

∴（15﹣4t）＝5，解得：t＝；

②PF：PE＝1：2時(shí)，PF＝EF＝，則（15﹣4t）＝，解得：t＝；

綜上所述，對(duì)角線AC所在的直線將正方形EFGH分成兩部分圖形的面積比為1：2時(shí)t的值為或．