Question

【題目】如圖，以AB為直徑作⊙O，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，劣弧CB沿BC翻折，交AB于點(diǎn)D，過(guò)A作⊙O的切線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

（1）求證：AC=CD；

（2）已知tanE=，AC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）⊙O的半徑為．

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)與圓周角定理即可得證；

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)與圓周角定理易證∠E=∠ABC，則在Rt△ABC利用三角形函數(shù)與勾股定理求得AB=2，即⊙O的半徑為．

（1）如圖所示：

∵點(diǎn)D與點(diǎn)D′關(guān)于CB對(duì)稱，

∴CD=CD′，∠DBC=∠D′BC，

∴AC=CD′，

∴AC=CD；

（2）∵AE為⊙O的切線，

∴∠BAE=90°，

∴∠E+∠ADC=90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠CAB=90°，

∵AC=CD，

∴∠CAB=∠ADC，

∴∠E=∠ABC，

∴tanE=tan∠ABC==，

∵AC=2，

∴BC=4，

則AB=，

∴⊙O的半徑為．