Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，DC上，且△BEF為等邊三角形，下列結(jié)論：

①DE=DF；②∠AEB=75°；③BE=DE；④AE+FC=EF．

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（ ）

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】根據(jù)三角形的全等的知識(shí)可以判斷①的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和為180°判斷②的正誤；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可判斷③的正誤；根據(jù)線段垂直平分線的知識(shí)可以判斷④的正誤.

解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵△BEF是等邊三角形，∴BBF，∵在Rt△ABE和Rt△BCF中，AB=BC，BE=BF，∴Rt△ABE≌△BCF（HL）∴AE=CF，AD=DC，AD-AE=CD-CF，

∴DE=DF，∴①正確；

∵DE=DF，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°，∵∠BEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②正確；

∵BE=EF=DE，∴③正確；

如圖，連接BD，交EF于G點(diǎn)，

∴BD⊥EF，且BD平分EF，∵∠CBD≠∠DBF，∴CF≠FG，∴AE+FC≠EF，∴④錯(cuò)誤；

故選C.

“點(diǎn)睛”本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，考本題中 求值△ABE≌△BCF是解題的關(guān)鍵.