【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C,給出如下定義:若⊙C上存在一個(gè)點(diǎn)M,使得MP=MC,則稱點(diǎn)P為⊙C的“等徑點(diǎn)”,已知點(diǎn)D(,),E(0,2),F(xiàn)(﹣2,0).
(1)當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí),
①在點(diǎn)D,E,F(xiàn)中,⊙O的“等徑點(diǎn)”是哪幾個(gè)點(diǎn);
②作直線EF,若直線EF上的點(diǎn)T(m,n)是⊙O的“等徑點(diǎn)”,求m的取值范圍.
(2)過點(diǎn)E作EG⊥EF交x軸于點(diǎn)G,若△EFG各邊上所有的點(diǎn)都是某個(gè)圓的“等徑點(diǎn)”,求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍.
【答案】(1)①⊙O的“等徑點(diǎn)”是D,E;②﹣2≤m≤﹣1;(2)r≥2.
【解析】
(1)①根據(jù)“等徑點(diǎn)”的定義可知,“等徑點(diǎn)”到圓心的距離小于等于圓的半徑的2倍,由此即可判定;
②如圖2中,設(shè)直線EF交半徑為2的⊙O于點(diǎn)K,連接OK,作KM⊥OF于M.當(dāng)點(diǎn)T在線段FK上時(shí),點(diǎn)T是“等徑點(diǎn)”,求出點(diǎn)K的坐標(biāo)即可解決問題;
(2)因?yàn)椤?/span>EFG各邊上所有的點(diǎn)都是某個(gè)圓的“等徑點(diǎn)”,所以這個(gè)圓的圓心Q是線段FG的中點(diǎn),易知Q(2,0),設(shè)這個(gè)圓的半徑為r.根據(jù)QG≤2r,構(gòu)建不等式即可解決問題.
(1)根據(jù)“等徑點(diǎn)”的定義可知,“等徑點(diǎn)”到圓心的距離小于等于圓的半徑的2倍.即半徑為1的⊙O的“等徑點(diǎn)”在以O為圓心2為半徑的圓內(nèi)或圓上.
如圖1中,觀察圖象可知:在點(diǎn)D,E,F中,⊙O的“等徑點(diǎn)”是D,E.
②如圖2中,設(shè)直線EF交半徑為2的⊙O于點(diǎn)K,連接OK,作KM⊥OF于M.
∵OF=2,OE=2,
∴tan∠EFO==,
∴∠OFK=60°,
∵OF=OK,
∴△OFK是等邊三角形,
∴OF=OK=FK=2,
∵KM⊥OF,
∴FM=OM=1,KM==,
∴K(﹣1, ),
∵當(dāng)點(diǎn)T在線段FK上時(shí),點(diǎn)T是“等徑點(diǎn)”,
∴﹣2≤m≤﹣1.
(2)如圖3中,
∵△EFG是直角三角形,∠FEG=90°,∠EFG=60°,
∴EF=2OF=4,FG=2EF=8,
∴OG=6,
由題意△EFG各邊上所有的點(diǎn)都是某個(gè)圓的“等徑點(diǎn)”,這個(gè)圓的圓心Q是線段FG的中點(diǎn),Q(2,0),設(shè)這個(gè)圓的半徑為r.
由題意:QG≤2r
∴4≤2r,
∴r≥2,
即這個(gè)圓的半徑r的取值范圍為r≥2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題背景
如圖(1),在四邊形ABCD中,∠B+∠D=180°,AB=AD,∠BAD=α,以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作一個(gè)角,角的兩邊分別交BC,CD于點(diǎn)E,F,且∠EAFα,連接EF,試探究:線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系.
(1)特殊情景
在上述條件下,小明增加條件“當(dāng)∠BAD=∠B=∠D=90°時(shí)”如圖(2),小明很快寫出了:BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系為______.
(2)類比猜想
類比特殊情景,小明猜想:在如圖(1)的條件下線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立,請(qǐng)你幫助小明完成證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.
(3)解決問題
如圖(3),在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,點(diǎn)D,E均在邊BC上,且∠DAE=45°,若BD,請(qǐng)直接寫出DE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,禁止捕魚期間,某海上稽查隊(duì)在某海域巡邏,上午某一時(shí)刻在A處接到指揮部通知,在他們東北方向距離12海里的B處有一艘捕魚船,正在沿南偏東75°方向以每小時(shí)10海里的速度航行,稽查隊(duì)員立即乘坐巡邏船以每小時(shí)14海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā),在C處成功攔截捕魚船,則巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船所用的時(shí)間是( )
A. 1小時(shí) B. 2小時(shí) C. 3小時(shí) D. 4小時(shí)
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),在反比例函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng),且始終保持線段的長度不變.為線段的中點(diǎn),連接.則線段長度的最小值是_____(用含的代數(shù)式表示).
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B(-1,4),點(diǎn)A(-7,0),點(diǎn)P是直線上一點(diǎn),且∠ABP=45°,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的對(duì)稱軸為,與軸的一個(gè)交點(diǎn)在和之間,其部分圖像如圖所示,則下列結(jié)論:①點(diǎn),,是該拋物線上的點(diǎn),則;②;③(為任意實(shí)數(shù)).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的最大值為4,且該拋物線與軸的交點(diǎn)為,頂點(diǎn)為.
(1)求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn),的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn),
①求的最大值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo);
②設(shè)是軸上的動(dòng)點(diǎn),若線段與函數(shù)的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn),求的取值范圍.
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【題目】某校的甲、乙兩位老師同住一小區(qū),該小區(qū)與學(xué)校相距2400米. 甲從小區(qū)步行去學(xué)校,出發(fā)10分鐘后乙再出發(fā),乙從小區(qū)先騎公共自行車,途經(jīng)學(xué)校義騎行若干米到達(dá)還車點(diǎn)后,立即步行走回學(xué)校. 已知甲步行的速度比乙步行的速度每分鐘快5米. 設(shè)甲步行的時(shí)間為(分),圖1中線段和折線分別表示甲、乙離開小區(qū)的路程(米)與甲步行時(shí)間(分)的函數(shù)關(guān)系的圖象;圖2表示甲、乙兩人之間的距離(米)與甲步行時(shí)間(分)的函數(shù)關(guān)系的圖象(不完整).根據(jù)圖1和圖2中所給信息,解答下列問題:
(1)求甲步行的速度和乙出發(fā)時(shí)甲離開小區(qū)的路程;
(2)求乙騎自行車的速度和乙到達(dá)還車點(diǎn)時(shí)甲、乙兩人之間的距離;
(3)在圖2中,畫出當(dāng)時(shí)關(guān)于的函數(shù)的大致圖象. (溫馨提示:請(qǐng)畫在答題卷相對(duì)應(yīng)的圖上)
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【題目】如圖,是的直徑,點(diǎn)和點(diǎn)是上的兩點(diǎn),過點(diǎn)作的切線交延長線于點(diǎn)。
Ⅰ.若,求的度數(shù);
Ⅱ.若,求的度數(shù).
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