【題目】閱讀材料:
小明準(zhǔn)備制作棱長(zhǎng)為1cm的正方體紙盒,現(xiàn)選用一些廢棄的紙片進(jìn)行如下設(shè)計(jì):
說明:方案一圖形中的圓過點(diǎn)A,B,C,圓心O也是正方形的頂點(diǎn);
回答問題(直接寫出結(jié)果):
(1)方案二中,直角三角形紙片的兩條直角邊長(zhǎng)分別為_______cm和_______cm;
(2)小明通過計(jì)算,發(fā)現(xiàn)方案一中紙片的利用率是________(填準(zhǔn)確值),近似值約為38.2%.相比之下,方案二的利用率是________%.小明感覺上面兩個(gè)方案的利用率均偏低,又進(jìn)行了新的設(shè)計(jì)(方案三),請(qǐng)直接寫出方案三的利用率是________.
【答案】(1)4cm;8cm;(2);37.5;49.9%.
【解析】(1)如圖,作輔助線,利用三角形全等和三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例,可以分別求得直角三角形的兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)度
(2)由(1)的結(jié)論直接可以得出結(jié)論,求得圓的半徑后可以求得紙片的面積,從而利用展開圖的面積除以總面積即可求得利用率;利用方案(3)的方法,分析求解即可求得答案.
(1)如圖3:
建立平面直角坐標(biāo)系,可得E(2,3)、F(4,2)得直線解析式為y=-x+4,
∴A(0,4)B(8,0)
∴AC=4BC=8.
故答案為:4,8;
(2)∵由題意知:AB=2,
∴圓的半徑為,
∴圓的面積為5π,
∵展開圖的面積為6,
∴利用率=×100%=×100%=;
方案二:由(1)知,AC=4BC=8.
∴S△ACB=16.
∴該方案紙片利用率=×100%=×100%=37.5%.
方案三:過點(diǎn)C作CD⊥EF于D,過點(diǎn)G作GH∥AC,交BC于點(diǎn)H,
設(shè)AP=a,
∵PQ∥EK,
易得△APQ∽△KQE,△CEF是等腰三角形,△GHL是等腰三角形,
∴AP:AQ=QK:EK=1:2,
∴AQ=2a,PQ=a,
∴EQ=5a,
∵EC:ED=QE:QK,
∴EC=a,
則PG=5a+a=a,GL=a,
∴GH=a,
∵,
解得:GB=a,
∴AB=a,AC=a,
∴S△ABC=×AB×AC=a2,
S展開圖面積=6×5a2=30a2,
∴該方案紙片利用率=×100%=×100%=49.86%≈49.9%.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知∠ACD是△ABC的一個(gè)外角,我們?nèi)菀鬃C明∠ACD=∠A+∠B,即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.那么,三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?
嘗試探究:(1)如圖2,∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角,則∠DBC+∠ECB ∠A+180°(橫線上填>、<或=)
初步應(yīng)用:(2)如圖3,在△ABC紙片中剪去△CED,得到四邊形ABDE,∠1=135°,則∠2-∠C= .
解決問題:(3)如圖4,在△ABC中,BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB,∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫出答案 .
(4)如圖5,在四邊形ABCD中,BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB,請(qǐng)利用上面的結(jié)論探究∠P與∠A、∠D的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】請(qǐng)根據(jù)圖中提供的暖瓶和水杯的售價(jià)信息,回答下列問題:
(1)一個(gè)暖瓶與一個(gè)水杯的售價(jià)分別是多少元?
(2)甲、乙兩家商場(chǎng)同時(shí)出售同樣的暖瓶和水杯,在新年期間,兩家商場(chǎng)都在搞促銷活動(dòng).甲商場(chǎng)規(guī)定:這兩種商品都打8.5折;乙商場(chǎng)規(guī)定:兩種商品都不打折,但買一個(gè)暖瓶贈(zèng)送一個(gè)水杯.若某單位想要買4個(gè)暖瓶和16個(gè)水杯,請(qǐng)問這個(gè)單位選擇哪家商場(chǎng)購(gòu)買更合算,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有三條長(zhǎng)度均為a的線段,分別按以下要求畫圓.
(1)如圖①,以該線段為直徑畫一個(gè)圓,記該圓的周長(zhǎng)為C1;如圖②,在該線段上任取一點(diǎn),再分別以兩條小線段為直徑畫兩個(gè)圓,這兩個(gè)圓的周長(zhǎng)的和為C2,請(qǐng)指出C1和C2的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)如圖③,當(dāng)a=11時(shí),以該線段為直徑畫一個(gè)大圓,再在大圓內(nèi)畫若千小圓,這些小圓的直徑都和大圓的直徑在同一條直線上,且小圓的直徑的和等于大圓的直徑,那么圖中所有小圓的周長(zhǎng)的和為 .(直接填寫答案,結(jié)果保留π)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀理解:
如圖1,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形,如果其中有兩個(gè)三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn);如果這三個(gè)三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn).解決問題:
(1)如圖1,∠A=∠B=∠DEC=55°,試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn),并說明理由;
(2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)的格點(diǎn)(即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn))上,試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)E;
拓展探究:
(3)如圖3,將矩形ABCD沿CM折疊,使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處.若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn),試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面上四個(gè)點(diǎn).
(1)按下列要求畫圖(不寫畫法)
①連接,;②作直線;③作射線,交于點(diǎn).
(2)在(1)所畫的圖形中共有__________條線段,__________條射線. (所畫圖形中不能再添加標(biāo)注其他字母);
(3)通過測(cè)量線段,,,可知__________(填“”,“”或“”),可以解釋這一現(xiàn)象的基本事實(shí)為:_______________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】按如下規(guī)律擺放三角形:
(1)圖④中分別有多少個(gè)三角形?
(2)按上述規(guī)律排列下去,第n個(gè)圖形中有多少個(gè)三角形?
(3)按上述規(guī)律排列下去,第2014個(gè)圖形中有多少個(gè)三角形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為深化課改,落實(shí)立德樹人目標(biāo),某學(xué)校設(shè)置了以下四門拓展性課程:A.?dāng)?shù)學(xué)思維,B.文學(xué)鑒賞,C.紅船課程,D.3D打印,規(guī)定每位學(xué)生選報(bào)一門.為了解學(xué)生的報(bào)名情況,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,并制作成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)回答下列問題:
(1)求這次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù);
(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)假如全校有學(xué)生1000人,請(qǐng)估計(jì)選報(bào)“紅船課程”的學(xué)生人數(shù).
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