Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，A為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，B為y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)．

（1）如圖①，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC．若已知A（﹣2，0）B（0，﹣4），試求C點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖②，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，a），點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為b，以B為頂點(diǎn)，BA為腰作等腰Rt△ABD，當(dāng)B點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動且其他條件都不變時，求b﹣a的值；

（3）如圖③，E為x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且OB＝OE，OF⊥EB于點(diǎn)F，以OB為邊在第四象限作等邊△OBM，連接EM交OF于點(diǎn)N，探究EM-ON與EN的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）C（﹣6，﹣2）；（2）2；（3）EN＝（EM﹣ON），理由見解析

【解析】

（1）作CQ⊥OA于點(diǎn)Q，可以證明△AQC≌△BOA，由QC=AO，AQ=BO，再由條件就可以求出C的坐標(biāo)；

（2）作DP⊥OB于點(diǎn)P，可以證明△AOB≌△BPD，則有AO=BP=OB-PO=-a-（-b）=b-a為定值；

（3）作BH⊥EB于B，由條件可以得出∠1=30°，∠2=∠3=∠EMO=15°，∠EOF=∠BMG=45°，EO=BM，可以證明△ENO≌△BGM，則GM=ON，就有EM-ON=EM-GM=EG，最后由平行線分線段成比例定理就可以得出EN=EM-ON的一半．

（1）如圖（1）作CQ⊥OA于點(diǎn)Q，

∴∠AQC＝90°

∵△ABC是等腰Rt△，

∴AC＝AB，∠CAB＝90°，

∴∠ACQ＝∠BAO，

在△AQC與△BOA中，

，

∴△AQC≌△BOA，

∴CQ＝AO，AQ＝BO．

∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），

∴OA＝2，OB＝4，

∴CQ＝2，AQ＝4，

∴OQ＝6，

∴C（﹣6，﹣2）．

（2）如圖（2）作DP⊥OB于點(diǎn)P，

∴∠BPD＝90°，

∵△ABD是等腰Rt△，

∴AB＝BD，∠ABD＝∠ABO+∠OBD＝90°，

∴∠ABO＝∠BDP，

在△AOB與△BPD中，

，

∴△AOB≌△BPD，

∴AO＝BP，

∵BP＝OB﹣PO＝﹣a﹣（﹣b）＝b﹣a，

∴A（﹣2，0），

∴OA＝2，

∴b﹣a＝2，

∴當(dāng)B點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動時AO＝BP＝b﹣a＝2，

（3）如圖（3）在ME上截取MG＝ON，連接BG，

∵△OBM是等邊三角形，

∴BO＝BM＝MO，∠OBM＝∠OMB＝∠BOM＝60°，

∴EO＝MO，∠EBM＝105°，∠1＝30°，

∵OE＝OB， ∴OE＝OM＝BM．

∴∠3＝∠EMO＝15°，

∴∠BEM＝30°，∠BME＝45°，

∵OF⊥EB，

∴∠EOF＝45°

∴∠EOF＝∠BME，

在△ENO與△BGM中，

，

∴△ENO≌△BGM，

∴BG＝EN．

∵ON＝MG，

∴∠2＝∠3，

∴∠2＝15°，

∴∠EBG＝90°

∴BG＝EG，

∴EN＝EG，

∵EG＝EM﹣GM，

∴EN＝（EM﹣GM），

∴EN＝（EM﹣ON）.