Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形的三個頂點、、．拋物線過、兩點．

（1）直接寫出點的坐標，并求出拋物線的解析式；

（2）動點從點出發(fā)．沿線段向終點運動，同時點從點出發(fā)，沿線段向終點運動．速度均為每秒1個單位長度，運動時間為秒．過點作交于點．

①過點作于點，交拋物線于點．當為何值時，線段最長？

②連接．在點、運動的過程中，判斷有幾個時刻使得是等腰三角形？請直接寫出相應的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①當時，線段最長為2；②共有三個時刻，，，

【解析】

（1）由于四邊形為矩形，所以點與點縱坐標相同，點與點橫坐標相同；

（2）①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出點的橫坐標表達式即為點的橫坐標表達式．代入二次函數(shù)解析式，求出縱坐標表達式，將線段最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題解答；

②若構(gòu)成等腰三角形，則三條邊中有兩條邊相等即可，于是可分，，三種情況討論．若有兩種情況時間相同，則三邊長度相同，為等腰三角形．

（1）因為點的橫坐標為4，點的縱坐標為8，軸，軸

所以點的坐標為

將、兩點坐標分別代入得

解得，

故拋物線的解析式為；

（2）①在和中，，即

∴，

∴點的坐標為

∴點的縱坐標為

∴

∵

∴當時，線段最長為2；

②依題意，共有三個時刻：

（①）當時

因為，，

所以根據(jù)兩點間距離公式，得

整理得

解得或（此時、重合，不能構(gòu)成三角形，舍去）

（②）當時

因為，，

所以根據(jù)兩點間距離公式，得

整理得

解得，（此時不在矩形的邊上，舍去）

（③）當時

因為，，

所以根據(jù)兩點間距離公式，得

解得（此時、重合，不能構(gòu)成三角形，舍去）或

綜上，，，．