【題目】如圖1,直線l:y=﹣x+4與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,以AB為直徑作⊙M,點(diǎn)P為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O、A不重合),作PC⊥AB于C,連結(jié)BP并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D.
(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo)和tan∠BAO的值;
(2)設(shè)=x,tan∠BPO=y.
①當(dāng)x=1時(shí),求y的值及點(diǎn)D的坐標(biāo);
②求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式;
(3)如圖2,連接OC,當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí),求OCPD的最大值.
【答案】(1)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為:(8,0)、(0,4);;(2)①y=,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,﹣);②y=;(3)當(dāng)x=4時(shí),OCPD最大值為
【解析】
(1)對(duì)于直線l:y=﹣x+4,令x=0,則y=4,令y=0,則x=8,求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),即可求解;
(2)①當(dāng)x=1時(shí),則BC=AC,PB=PA=,進(jìn)而確定直線BP的表達(dá)式;根據(jù)DM是圓的半徑,即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo);
②AB=AC+BC,求得PA=,即可求解;
(3)證明△OAC∽△ODP,利用二次函數(shù)求最大值的方法,即可求解.
解:(1)對(duì)于直線l:y=﹣x+4,令x=0,則y=4,令y=0,則x=8,
故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為:(8,0)、(0,4);
∴tan∠BAO===;
(2)由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得:AB==4,則圓的半徑r=2,
①如圖1,當(dāng)x=1時(shí),則BC=AC,
又∵PM⊥AB,
∴AM=BM=AB=2/span>,
∵tan∠BAO===,則cos∠BAO=,
PB=PA===5,
OP=OA﹣AP=8﹣5=3,故點(diǎn)P(3,0),
在Rt△BOP中,y=tan∠BPO==;
設(shè)直線BP的表達(dá)式為:y=kx+b,則,解得:,
故直線BP的表達(dá)式為:y=﹣x+4,
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為:(m,﹣m+4),
∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),則其坐標(biāo)為:(4,2),
∵DM是圓的半徑,
∴MD=(m﹣4)2+(﹣m+4﹣2)2=(2)2,
解得:m=0或(舍去0),
故m=,
故點(diǎn)D(,﹣);
故y=,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,﹣);
②在△Rt△ACP中,AC==PA,
∵=x,則BC=xAC,
∵AB=AC+BC=PA+PAx=4,
∴PA=,
∵OP=OA﹣PA=4﹣,
y=tan∠BPO===;
(3)如圖2,連接OD、OC,
∵∠BOA=90°,∠BCP=90°,
∴O、P、C、B四點(diǎn)共圓,
∴∠COP=∠CBP,
而∠CBP=∠AOD,
∴∠COP=∠AOD,
而∠BDO=∠BAO,
∴△OAC∽△ODP,
∴,即OCPD=ACOP,
設(shè)PA=x,則OP=8﹣x,
在Rt△ACP中,AC=APcos∠BAO=x=x,
∴OCPD=ACOP=x(8﹣x)=﹣x2+x,
∵﹣<0,故OCPD有最大值,
當(dāng)x=4時(shí),OCPD最大值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,按以下步驟作圖:
①分別以點(diǎn)A和B為圓心,以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)E、F;
②作直線EF交BC于點(diǎn)G,連接AG;若AG⊥BC,CG=3,則AD的長(zhǎng)為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為的網(wǎng)格中,點(diǎn)均在格點(diǎn)上,為小正方形邊中點(diǎn).
(1)的長(zhǎng)等于 ______;
(2)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中,用無(wú)刻度的直尺,畫(huà)出一個(gè)點(diǎn),使其滿足說(shuō)明點(diǎn)的位置是如何找到的(不要求證明)______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線為常數(shù),)與直線都經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn),交x軸于點(diǎn)H.
(1)求此拋物線和直線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí),求取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為直線與該拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn).當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為了解學(xué)生對(duì)“防溺水”安全知識(shí)的掌握情況,從全校1500名學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,并將測(cè)試成績(jī)(百分制,得分均為整數(shù))進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,繪制了不完整的頻數(shù)表和頻數(shù)直方圖.
組別 | 成績(jī)x(分) | 頻數(shù)(人) | 頻率 |
A組 | 50≤x<60 | 6 | 0.12 |
B組 | 60≤x<70 | a | 0.28 |
C組 | 70≤x<80 | 16 | 0.32 |
D組 | 80≤x<90 | 10 | 0.20 |
E組 | 90≤x≤100 | 4 | 0.08 |
由圖表中給出的信息回答下列問(wèn)題:
(1)表中的a= ;抽取部分學(xué)生的成績(jī)的中位數(shù)在 組;
(2)把如圖的頻數(shù)直方圖補(bǔ)充完整;
(3)如果成績(jī)達(dá)到80分以上(包括80分)為優(yōu)秀,請(qǐng)估計(jì)該校1500名學(xué)生中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】先閱讀下列材料,再解答問(wèn)題.
尺規(guī)作圖
已知:△ABC,D是邊AB上一點(diǎn),如圖1,
求作:四邊形DBCF,使得四邊形DBCF是平行四邊形.
小明的做法如下:
請(qǐng)你參考小明的做法,再設(shè)計(jì)一一種尺規(guī)作圖的方法(與小明的方法不同),使得畫(huà)出的四邊形DBCF是平行四邊形,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形W1和圖形W2.給出如下定義:在圖形W1上存在兩點(diǎn)A,B(點(diǎn)A,B可以重合),在圖形W2上存在兩點(diǎn)M,N,(點(diǎn)M于點(diǎn)N可以重合)使得AM=2BN,則稱圖形W1和圖形W2滿足限距關(guān)系
(1)如圖1,點(diǎn)C(1,0),D(-1,0),E(0,),點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P可以與點(diǎn)D,E重合),連接OP,CP.
①線段OP的最小值為_______,最大值為_______;線段CP的取值范直范圍是_____;
②在點(diǎn)O,點(diǎn)C中,點(diǎn)____________與線段DE滿足限距關(guān)系;
(2)如圖2,⊙O的半徑為1,直線(b>0)與x軸、y軸分別交于點(diǎn)F,G.若線段FG與⊙O滿足限距關(guān)系,求b的取值范圍;
(3)⊙O的半徑為r(r>0),點(diǎn)H,K是⊙O上的兩個(gè)點(diǎn),分別以H,K為圓心,1為半徑作圓得到⊙H和K,若對(duì)于任意點(diǎn)H,K,⊙H和⊙K都滿足限距關(guān)系,直接寫(xiě)出r的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,點(diǎn)在邊(不包括端點(diǎn))過(guò)三點(diǎn)的交AB于另一點(diǎn)連結(jié)且于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)連結(jié).
(1)求證:四邊形是菱形.
(2)當(dāng)時(shí),求的直徑長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為做好疫情宣傳巡查工作,各地積極借助科技手段加大防控力度.如圖,亮亮在外出期間被無(wú)人機(jī)隔空喊話“戴上口罩,趕緊回家”.據(jù)測(cè)量,無(wú)人機(jī)與亮亮的水平距離是15米,當(dāng)他抬頭仰視無(wú)人機(jī)時(shí),仰角恰好為,若亮亮身高1.70米,則無(wú)人機(jī)距離地面的高度約為________米.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):,)
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