【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D為BC邊的中點(diǎn),過點(diǎn)B作BF⊥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,CE平分∠ACB交AD于點(diǎn)E.
(1)判斷四邊形CEBF的形狀,并證明;
(2)若AD=,求BF及四邊形CEBF的面積.
【答案】(1)四邊形CEBF是平行四邊形,證明見解析;(2),四邊形CEBF的面積=12.
【解析】
(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)、垂直的定義和角平分線的定義可得∠DCE=∠CBF,而可根據(jù)ASA證明△CDE≌△BDF,于是可得DE=DF,進(jìn)一步即可得出結(jié)論;
(2)設(shè)CD=x,則AC=BC=2x,然后在Rt△ACD中,由勾股定理可求出x,從而可得AC、AB的長(zhǎng),由等腰三角形的性質(zhì)可得CE垂直平分AB,進(jìn)而可得AE=BE,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定以及余角的性質(zhì)可得AE=EF,于是可得AD=3DE,AF=4DE,而AD已知,則DE和AF可得,于是可在直角△AFB中根據(jù)勾股定理求出BF,過點(diǎn)C作CG⊥DE于點(diǎn)G,如圖,則由三角形的面積可求出CG的長(zhǎng),于是可得△CDE的面積,而所求的四邊形CEBF的面積是△CDE面積的4倍,問題即得解決.
(1)四邊形CEBF是平行四邊形.
證明:∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠ABC=45°,
∵FB⊥AB,
∴∠ABF=90°,
∴∠CBF=45°,
∵CE平分∠ACB,
∴∠DCE=45°=∠CBF,
又∵DC=DB,∠CDE=∠BDF,
∴△CDE≌△BDF(ASA),
∴DE=DF,
∵DC=DB,
∴四邊形CEBF是平行四邊形;
(2)解:設(shè)CD=x,則AC=BC=2x,
在Rt△ACD中,由勾股定理得:,
解得:x=3,
∴CD=3,AC=BC=6,
∴,
∵AC=BC,CE平分∠ACB,
∴CE垂直平分AB,
∴AE=BE,
∴∠BAE=∠ABE,
∵∠BAE+∠AFB=90°,∠ABE+∠FBE=90°,
∴∠AFB=∠FBE,
∴EF=BE,
∴AE=EF,
∵EF=2DE,
∴AD=3DE,AF=4DE,
∴,
∴,
∴,
過點(diǎn)C作CG⊥DE于點(diǎn)G,如圖,則由三角形的面積可得:,
即,解得:,
∴S△CDE =,
∴四邊形CEBF的面積=4S△CDE=4×3=12.
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【題目】有依次3個(gè)數(shù):2、9、7.對(duì)任意相鄰的兩個(gè)數(shù),都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù),所得之差寫在這兩個(gè)數(shù)之間,可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串:2、7、9、-2、7,這稱為第1次操作,做第2次同樣的操作后也可以產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串:2、5、7、2、9、-11、-2、9、7,繼續(xù)依次操作下去,問從數(shù)串2、9、7開始操作第20次后所產(chǎn)生的那個(gè)數(shù)串的所有數(shù)之和是___________.
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【題目】為及時(shí)救治新冠肺炎重癥患者,某醫(yī)院需購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的呼吸機(jī).已知購(gòu)買一臺(tái)A型呼吸機(jī)需6萬元,購(gòu)買一臺(tái)B型呼吸機(jī)需4萬元,該醫(yī)院準(zhǔn)備投入資金y萬元,全部用于購(gòu)進(jìn)35臺(tái)這兩種型號(hào)的呼吸機(jī),設(shè)購(gòu)進(jìn)A型呼吸機(jī)x臺(tái).
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若購(gòu)進(jìn)B型呼吸機(jī)的數(shù)量不超過A型呼吸機(jī)數(shù)量的2倍,則該醫(yī)院至少需要投入資金多少萬元?
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【題目】設(shè)二次函數(shù)y1,y2的圖象的頂點(diǎn)分別為(a,b)、(c,d),當(dāng)a=﹣c,b=2d,且開口方向相同時(shí),則稱y1是y2的“反倍頂二次函數(shù)”.
(1)請(qǐng)寫出二次函數(shù)y=x2+x+1的一個(gè)“反倍頂二次函數(shù)”;
(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=x2+nx和二次函數(shù)y2=nx2+x,函數(shù)y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍頂二次函數(shù)”,求n.
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【題目】下列說法錯(cuò)誤的是( )
A. 若AP=BP,則點(diǎn)P是線段的中點(diǎn) B. 若點(diǎn)C在線段AB上,則AB=AC+BC
C. 若AC+BC>AB,則點(diǎn)C一定在線段AB外 D. 兩點(diǎn)之間,線段最短
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【題目】如圖,函數(shù)y1=-x+4的圖象與函數(shù)y2= (x>0)的圖象交于A(a,1)、B(1,b)兩點(diǎn).
(1)求函數(shù)y2的表達(dá)式;
(2)觀察圖象,比較當(dāng)x>0時(shí),y1與y2的大。
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【題目】下列說法中,正確的有( )
①等腰三角形兩邊長(zhǎng)為2和5,則它的周長(zhǎng)是9或12;②無理數(shù)-在-2和-1之間;③六邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍;④若a>b,則a-b>0.它的逆命題是假命題;⑤北偏東30°與南偏東50°的兩條射線組成的角為80°.
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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(1)當(dāng)每件襯衣定價(jià)為多少元時(shí)(定價(jià)為10元的正整數(shù)倍),服裝店每星期的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少元?
(2)請(qǐng)分析每件襯衣的定價(jià)在哪個(gè)范圍內(nèi)時(shí),每星期的銷售利潤(rùn)不低于2 700元.
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