Question

【題目】如圖，∠ABC=90°，D、E分別在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)D與AB相交于點(diǎn)M．

（1）求證：∠FMC=∠FCM；
（2）AD與MC垂直嗎？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ADE是等腰直角三角形，F(xiàn)是AE中點(diǎn)，

∴DF⊥AE，DF=AF=EF，

又∵∠ABC=90°，

∠DCF，∠AMF都與∠MAC互余，

∴∠DCF=∠AMF，

在△DFC和△AFM中，

，

∴△DFC≌△AFM（AAS），

∴CF=MF，

∴∠FMC=∠FCM；

（2）解：AD⊥MC，

理由：由（1）知，∠MFC=90°，F(xiàn)D=FA=FE，F(xiàn)M=FC，

∴∠FDE=∠FMC=45°，

∴DE∥CM，

∴AD⊥MC．

【解析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出DF⊥AE，DF=AF=EF，然后再利用AAS證明△DFC≌△AFM（AAS），最后依據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）由（1）知，∠MFC=90°，F(xiàn)D=EF，F(xiàn)M=FC，于是可得出∠FDE=∠FMC=45°，接下來(lái)，再依據(jù)平行線的判定定理進(jìn)行證明DE∥CM，然后再依據(jù)垂線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.
【考點(diǎn)精析】掌握等腰直角三角形是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°．