Question

如圖，點C是以AB為直徑的⊙O上的一點，AD與過點C的切線互相垂直，垂足為點D．

（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若CD=1，AC=，求⊙O的半徑長．

Answer 1

（1）見解析；（2）.

試題分析：（1）連接OC，由OA=OC得∠ACO=∠CAO，由切線的性質(zhì)得出OC⊥CD，根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行得到AD∥CO，由平行線的性質(zhì)得∠DAC=∠ACO，等量代換后可得∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD.
過點O作OE⊥AC于E．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，由垂徑定理求出AE=，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△AEO∽△ADC，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得到，求出AO=，即⊙O的半徑為.
試題解析：（1）證明：如圖，連接OC，

∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO.
∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD，∴AD∥CO.
∴∠DAC=∠ACO.
∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD.
（2）如圖，過點O作OE⊥AC于E．

在Rt△ADC中，，
∵OE⊥AC，∴AE=AC=.
∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，
∴△AEO∽△ADC.
∴，即，
∴AO=，即⊙O的半徑為.