Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90^。． 
 ①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為_________，數(shù)量關(guān)系為__________．
         ②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90^。，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F重合除外）？畫出相應(yīng)圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）
（3）若AC=，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長的最大值．

Answer 1

（1）①垂直；相等；         ②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)①的結(jié)論仍成立          由正方形ADEF得 AD=AF ，∠DAF=90。．              ∵∠BAC=90。，∴∠DAF=∠BAC ，             ∴∠DAB=∠FAC，又AB=AC ，             ∴△DAB≌△FAC         ∴CF=BD 　　　　              ∠ACF=∠ABD．            ∵∠BAC=90。， AB=AC ，∴∠ABC=45o，∴∠ACF=45o，            ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即 CF⊥BD
（2）　 當(dāng)∠BCA=45o時(shí)，CF⊥BD（如圖）．       理由是：過點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，     ∴AC=AG 可證：△GAD≌△CAF     ∴∠ACF=∠AGD=45o ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o． 即CF⊥BD
（3）當(dāng)具備∠BCA=45o時(shí)，過點(diǎn)A作AQ⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)Q，（如圖）      ∵DE與CF交于點(diǎn)P時(shí)， ∴此時(shí)點(diǎn)D位于線段CQ上，      ∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4．        設(shè)CD=x ，∴ DQ=4-x，      容易說明△AQD∽△DCP，     ∴ ， ∴，     ∴              ∵0＜x≤3 ∴當(dāng)x=2時(shí)，CP有最大值1．