【題目】已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,CD為∠ACB的平分線,將∠ACB沿CD所在的直線對(duì)折,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處,連結(jié)AB',BB',延長(zhǎng)CD交BB'于點(diǎn)E,設(shè)∠ABC=2α(0°<α<45°).
(1)如圖1,若AB=AC,求證:CD=2BE;
(2)如圖2,若AB≠AC,試求CD與BE的數(shù)量關(guān)系(用含α的式子表示);
(3)如圖3,將(2)中的線段BC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(α+45°),得到線段FC,連結(jié)EF交BC于點(diǎn)O,設(shè)△COE的面積為S1,△COF的面積為S2,求(用含α的式子表示).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)CD=2BEtan2α;(3)sin(45°﹣α).
【解析】
(1)由翻折可知:BE=EB′,再利用全等三角形的性質(zhì)證明CD=BB′即可;
(2) 如圖 2 中, 結(jié)論:CD=2BEtan2α.只要證明△BAB′∽△CAD,可得,推出,可得CD=2BEtan2α;
(3) 首先證明∠ECF=90°,由∠BEC+∠ECF=180°,推出BB′∥CF,推出sin(45°﹣α),由此即可解決問(wèn)題.
(1)如圖1中,
∵B、B′關(guān)于EC對(duì)稱(chēng),
∴BB′⊥EC,BE=EB′,
∴∠DEB=∠DAC=90°,
∵∠EDB=∠ADC,
∴∠DBE=∠ACD,
∵AB=AC,∠BAB′=∠DAC=90°,
∴△BAB′≌CAD,
∴CD=BB′=2BE;
(2)如圖2中,結(jié)論:CD=2BEtan2α,
理由:由(1)可知:∠ABB′=∠ACD,∠BAB′=∠CAD=90°,
∴△BAB′∽△CAD,
∴,
∴,
∴CD=2BEtan2α;
(3)如圖 3中.在Rt△ABC中,∠ACB=90°﹣2α,
∵EC平分∠ACB,
∴∠ECB(90°﹣2α)=45°﹣α,
∵∠BCF=45°+α,
∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°,
∴∠BEC+∠ECF=180°,
∴BB′∥CF,
∴sin(45°﹣α).
∵,
∴sin(45°﹣α).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣2,6),且與x軸相交于點(diǎn)B,與正比例函數(shù)y=3x的圖象相交于點(diǎn)C,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1.
(1)求k、b的值;
(2)若點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上,且滿(mǎn)足S△COD=S△BOC,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】九(1)班全體同學(xué)根據(jù)自己的愛(ài)好參加了六個(gè)興趣小組(每個(gè)學(xué)生必須參加且只參加一個(gè)),為了了解學(xué)生參加興趣小組的情況,班主任參加各個(gè)興趣小組的人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制成了如圖不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖,已知參加“足球”小組的學(xué)生有7人,請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)九(1)班共有 名學(xué)生;
(2)若該班參加“吉他”小組與“街舞”小組的人數(shù)相同,請(qǐng)你計(jì)算,“吉他”小組對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù);
(3)若“足球”興趣小組7個(gè)同學(xué)編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,把這些號(hào)碼制成大小相同的號(hào)碼球,放到A、B、C三個(gè)口袋中,A口袋中裝有1,2,3三個(gè)號(hào)碼球,B口袋中裝4,5兩個(gè)號(hào)碼球,C口袋中裝6,7兩個(gè)號(hào)碼球,從三個(gè)口袋中各隨機(jī)取出1個(gè)球,請(qǐng)用列表法或樹(shù)狀圖求取出的3個(gè)號(hào)碼球都是奇數(shù)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市計(jì)劃在十二年內(nèi)通過(guò)公租房建設(shè),解決低收入人群的住房問(wèn)題.已知前7年,每年竣工投入使用的公租房面積y(單位:百萬(wàn)平方米)與時(shí)間x(第x年)的關(guān)系構(gòu)成一次函數(shù)(1≤x≤7且x為整數(shù)),且第一和第三年竣工投入使用的公租房面積分別為和百萬(wàn)平方米;后5年每年竣工投入使用的公租房面積y(單位:百萬(wàn)平方米)與時(shí)間x(第x年)的關(guān)系是y=﹣x+(7<x≤12且x為整數(shù)).
(1)已知第6年竣工投入使用的公租房面積可解決20萬(wàn)人的住房問(wèn)題,如果人均住房面積,最后一年要比第6年提高20%,那么最后一年竣工投入使用的公租房面積可解決多少萬(wàn)人的住房問(wèn)題?
(2)受物價(jià)上漲等因素的影響,已知這12年中,每年竣工投入使用的公租房的租金各不相同,且第一年,一年38元/m2,第二年,一年40元/m2,第三年,一年42元/m2,第四年,一年44元/m2……以此類(lèi)推,分析說(shuō)明每平方米的年租金和時(shí)間能否構(gòu)成函數(shù),如果能,直接寫(xiě)出函數(shù)解析式;
(3)在(2)的條件下,假設(shè)每年的公租房當(dāng)年全部出租完,寫(xiě)出這12年中每年竣工投入使用的公租房的年租金W關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)解析式,并求出W的最大值(單位:億元).如果在W取得最大值的這一年,老張租用了58m2的房子,計(jì)算老張這一年應(yīng)交付的租金.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小王某月手機(jī)話費(fèi)中的各項(xiàng)費(fèi)用統(tǒng)計(jì)情況見(jiàn)下列圖表,請(qǐng)你根據(jù)圖表信息完成下列各題:
項(xiàng)目 | 月功能費(fèi) | 基本話費(fèi) | 長(zhǎng)途話費(fèi) | 短信費(fèi) |
金額/元 | 5 | ▲ | ▲ | 25 |
(1)該月小王手機(jī)話費(fèi)共有多少元?
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,表示短信費(fèi)的扇形的圓心角為多少度?
(3)請(qǐng)將表格補(bǔ)充完整;
(4)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)垃圾進(jìn)行分類(lèi)投放,能提高垃圾處理和再利用的效率,減少污染,保護(hù)環(huán)境.為了檢查垃圾分類(lèi)的落實(shí)情況,某居委會(huì)成立了甲、乙兩個(gè)檢查組,采取隨機(jī)抽查的方式分別對(duì)轄區(qū)內(nèi)的A,B,C,D四個(gè)小區(qū)進(jìn)行檢查,并且每個(gè)小區(qū)不重復(fù)檢查.
(1)甲組抽到A小區(qū)的概率是多少;
(2)請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求甲組抽到A小區(qū),同時(shí)乙組抽到C小區(qū)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】課題研究小組對(duì)附著在物體表面的三個(gè)微生物(課題小組成員把他們分別標(biāo)號(hào)為1,2,3)的生長(zhǎng)情況進(jìn)行觀察記錄.這三個(gè)微生物第一天各自一分為二,產(chǎn)生新的微生物(分別被標(biāo)號(hào)為4,5,6,7,8,9),接下去每天都按照這樣的規(guī)律變化,即每個(gè)微生物一分為二,形成新的微生物(課題組成員用如圖所示的圖形進(jìn)行形象的記錄).那么標(biāo)號(hào)為100的微生物會(huì)出現(xiàn)在( )
A.第3天B.第4天C.第5天D.第6天
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某加工廠以每噸3000元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)50噸原料進(jìn)行加工.若進(jìn)行粗加工,每噸加工費(fèi)用為600元,需天,每噸售價(jià)4000元;若進(jìn)行精加工,每噸加工費(fèi)用為900元,需天,每噸售價(jià)4500元.現(xiàn)將這50噸原料全部加工完.設(shè)其中粗加工x噸,獲利y元.
(1)請(qǐng)完成表格并求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)自變量的范圍);
表一
粗加工數(shù)量/噸 | 3 | 7 | x |
精加工數(shù)量/噸 | 47 |
|
|
表二
粗加工數(shù)量/噸 | 3 | 7 | x |
粗加工獲利/元 |
| 2800 |
|
精加工獲利/元 |
| 25800 |
|
(2)如果必須在20天內(nèi)完成,如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1是某商場(chǎng)從一樓到二樓的自動(dòng)扶梯,圖2是側(cè)面示意圖,MN是二樓樓頂,MN∥PQ,點(diǎn)C在MN上,且位于自動(dòng)扶梯頂端B點(diǎn)的正上方,BC⊥MN.測(cè)得AB=10米,在自動(dòng)扶梯底端A處測(cè)得點(diǎn)C的仰角為50°,點(diǎn)B的仰角為30°,求二樓的層高BC(結(jié)果保留根號(hào))
(參考數(shù)據(jù):sin50°=0.77,cos50°=0.64,tan50°=1.20)
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