【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知A(﹣1,0)、C(4,0),BC⊥x軸于點C,且AC=BC,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點.
(1)求拋物線的表達式;
(2)點E是線段AB上一動點(不與A、B重合),過點E作x軸的垂線,交拋物線于點F,當(dāng)線段EF的長度最大時,求點E的坐標;
(3)在(2)的條件下,在拋物線上是否存在一點P,使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有點P的坐標;若不存在,說明理由.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)點E的坐標為(,);(3)存在,P1(,),P2(,),P3(,).
【解析】
(1)先求得點A的坐標,然后將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式可得到關(guān)于b、c的方程組,從而可求得b、c的值;
(2)設(shè)點E的坐標為(x,x+1),則點F的坐標為F(x,x2﹣2x﹣3),則可得到EF與x的函數(shù)關(guān)系式,利用配方法可求得EF的最大值以及點E的坐標;
(3)存在,分兩種情況考慮:(i)過點E作a⊥EF交拋物線于點P,設(shè)點P(m,m2﹣2m﹣3),由E的縱坐標與P縱坐標相等列出關(guān)于m的方程,求出方程的解得到m的值,確定出P1,P2的坐標;(ⅱ)過點F作b⊥EF交拋物線于P3,設(shè)P3(n,n2﹣2n﹣3),根據(jù)F的縱坐標與P的縱坐標相等列出關(guān)于n的方程,求出方程的解得到n的值,求出P3的坐標,綜上得到所有滿足題意P得坐標.
(1)∵A(﹣1,0)、C(4,0),
∴OA=1,OC=4,
∴AC=5,
∵BC⊥x軸于點C,且AC=BC,
∴B(4,5),
將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式得:,解得:b=﹣2,c=﹣3.
∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3.
(2)∵直線AB經(jīng)過點A(﹣1,0),B(4,5),
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,
∴,解得:,
∴直線AB的解析式為:y=x+1,
∵二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3,
∴設(shè)點E(t,t+1),則F(t,t2﹣2t﹣3),
∴EF=(t+1)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣(t﹣),
∴當(dāng)t=時,EF的最大值為,
∴點E的坐標為().
(3)存在,分兩種情況考慮:
(ⅰ)過點E作a⊥EF交拋物線于點P,設(shè)點P(m,m2﹣2m﹣3),
∴,
∴m1=,m2=
∴P1(,),P2(,)
(ⅱ)過點F作b⊥EF交拋物線于P3,設(shè)P3(n,n2﹣2n﹣3)
則有:n2﹣2n﹣3=﹣
∴n1=, n2=(舍去)
∴P3(,),
綜上所述,使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形所有點P的坐標為:P1(,),P2(,),P3(,).
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A(﹣2,1),B(1,n)兩點.
(1)試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式;
(2)求△AOB的面積.
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【題目】二次函數(shù)()的圖象如圖所示,對稱軸為,給出下列結(jié)論:①;②;③;④.其中正確的結(jié)論有( )
A.4個B.3個C.2個D.1個
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【題目】我校草根文學(xué)社為了了解學(xué)生課外閱讀情況,抽樣調(diào)查了部分學(xué)生每周用于課外閱讀的時間,過程如下:
數(shù)據(jù)收集,從全校隨機抽取20名學(xué)生,進行了每周用于課外閱讀時間的調(diào)查,數(shù)據(jù)如下(單位:分)
30 | 60 | 81 | 50 | 40 | 110 | 130 | 146 | 90 | 100 |
60 | 81 | 120 | 140 | 70 | 81 | 10 | 20 | 100 | 81 |
整理下分段整理樣本數(shù)據(jù)并補全表格.
課外閱讀時間x(分) | 0≤x<40 | 40≤x<80 | 80≤x<120 | 120≤x<160 |
等級 | D | C | B | A |
人數(shù) | 3 |
| 8 |
|
分析數(shù)據(jù):補全下列表格中的統(tǒng)計量.
平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
80 |
|
|
得出結(jié)論:
(1)用樣本中的統(tǒng)計量估計我校學(xué)生每周用于課外閱讀時間的情況等級為 ;
(2)假設(shè)平均閱讀一本課外書的時間為160分鐘,請你選擇樣本中的平均數(shù)估計我校學(xué)生每人一年(按52周計算)平均閱讀多少本課外書?
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【題目】如圖AB是⊙O的直徑,點D為⊙O上任意一點連接AD,DB.
(1)在AD的上方作∠DAC=∠DAB,交劣弧AO于點C.(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)在(1)的條件下,若∠DAB=30°,連接CD,OD.求證:四邊形AODC為菱形.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,直線MC與⊙O相切于點C.過點A作MC的垂線,垂足為D,線段AD與⊙O相交于點E.
(1)求證:AC是∠DAB的平分線;
(2)若AB=10,AC=4,求AE的長.
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【題目】如圖,在菱形中,為邊的中點,為邊上一動點(不與重合),將沿直線折疊,使點落在點處,連接,,當(dāng)為等腰三角形時,的長為____________.
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【題目】定義:對于給定的兩個函數(shù),任取自變量x的一個值,當(dāng)x<0時,它們對應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù);當(dāng)x≥0時,它們對應(yīng)的函數(shù)值相等,我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函數(shù).例如:一次函數(shù)y=x﹣1,它的相關(guān)函數(shù)為.
(1)已知點A(﹣5,8)在一次函數(shù)y=ax﹣3的相關(guān)函數(shù)的圖象上,求a的值;
(2)已知二次函數(shù).
①當(dāng)點B(m,)在這個函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上時,求m的值;
②當(dāng)﹣3≤x≤3時,求函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的最大值和最小值;
(3)在平面直角坐標系中,點M,N的坐標分別為(﹣,1),(,1}),連結(jié)MN.直接寫出線段MN與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個公共點時n的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點,在反比例函數(shù)的圖象上運動,且始終保持線段的長度不變.為線段的中點,連接.則線段長度的最小值是_____(用含的代數(shù)式表示).
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